知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．对于数列{a_n}，称P(ak)=
1
k-1
(|a1-a2|+|a2-a3|+…+|ak-1-ak|)（其中k≥2，k∈N）为数列{a_n}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（a_k+1）＜P（a_k），则称数列{a_n}为“趋稳数列”．
（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；
（2）若各项均为正数的等比数列{b_n}的公比q∈（0，1），求证：{b_n}是“趋稳数列”；
（3）已知数列{a_n}的首项为1，各项均为整数，前k项的和为S_k．且对任意k≥2，k∈N，都有3P（S_k）=2P（a_k），试计算：
C
2
n
P(a2)+2
C
3
n
P(a3)+…+(n-1)
C
n
n
P(an)（n≥2，n∈N）．

难度：较难

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2．设函数f（x）=
x
2
+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列{x_n}．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）令b_n=
xn
2π
，设数列{
1
bn•bn+1
}的前n项和为s_n，求证S_n＜
3
2
．

难度：中等

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3．已知f（x）=（a-ln x）x-1．
（I）不等式f（x）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）已知正项数列{a_n}满足a₁=e，a_n+1=
an-1
lnan
，求证：a_n＞e
1
2n
．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=log₂x，g（x）=x²+2x，数列{a_n}的前n项和记为S_n，b_n为数列{b_n}的通项，n∈N^*．点（b_n，n）和（n，S_n）分别在函数f（x）和g（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令C_n=
1
an•f(b2n-1)
，求数列{C_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．已知函数f(x)= |2x-2-2|（x∈R）．
（1）解不等式f（x）＜2；
（2）数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），S_n为{a_n}的前n项和，对任意的n≥4，不等式Sn+
1
2
≥kan恒成立，求实数k的取值范围．

难度：较难

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6．已知f（x）=（a-lnx）x-1．
（I）不等式f（x）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=
an(an+1)
2
，求证：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＞lna_n+1．

难度：较难

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7．在数字1，2，…，n（n≥2）的任意一个排列A：a₁，a₂，…，a_n中，如果对于i，j∈N^*，i＜j，有a_i＞a_j，那么就称（a_i，a_j）为一个逆序对．记排列A中逆序对的个数为S（A）．
如n=4时，在排列B：3，2，4，1中，逆序对有（3，2），（3，1），（2，1），（4，1），则S（B）=4．
（Ⅰ）设排列 C：3，5，6，4，1，2，写出S（C）的值；
（Ⅱ）对于数字1，2，…，n的一切排列A，求所有S（A）的算术平均值；
（Ⅲ）如果把排列A：a₁，a₂，…，a_n中两个数字a_i，a_j（i＜j）交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A'：b₁，b₂，…，b_n，求证：S（A）+S（A'）为奇数．

难度：较难

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8．（理）已知等差数列{a_n}的首项为p，公差为d（d＞0），对于不同的自然数n（n∈N^*），直线x=a_n与x轴和指数函数f（x）=（
1
2
）^x的图象分别交于点A_n与B_n（如图所示），记B_n的坐标为（a_n，b_n），直角梯形A₁A₂B₂B₁、A₂A₃B₃B₂的面积分别为s₁和s₂，一般地记直角梯形A_nA_n+1B_n+1B_n的面积为s_n．
（1）求证：数列{s_n}是公比绝对值小于1的等比数列；
（2）设{a_n}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以b_n，b_n+1，b_n+2为边长的三角形？并请说明理由；
（3）设{a_n}的公差d（d＞0）为已知常数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s_n}各项的和S＞2010？并请说明理由．

难度：较难

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9．称正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与
aj
ai
两数中至少有一个属于 A．
（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；
（2）设正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质 P．证明：对任意1≤i≤n（i∈N^*），a_i都是a_n的因数；
（3）求a_n=30时n的最大值．

难度：中等

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10．函数f（x）=x²-ax+a（x∈R），数列{
a

n
}的前n项和S_n=f（n），且f（x）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{
a

n
}的通项公式．

难度：较难

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