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          共50条信息

            • 1． 给定数列{an}，记该数列前i项a1，a2，…，ai中的最大项为Ai，即Ai=max{a1，a2，…，ai}；该数列后n-i项ai+1，ai+2，…，an中的最小项为Bi，即Bi=min{ai+1，ai+2，…，an}；di=Ai-Bi（i=1，2，3，…，n-1）
              （1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；
              （2）若Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，有(1-λ)Sn=-λan+
              2
              3
              n+
              1
              3
              ，其中λ为实数，λ＞0且λ≠
              1
              3
              ，λ≠1              ．
              ①设bn=an+
              2
              3(λ-1)
              ，证明数列{bn}是等比数列；
              ②若数列{an}对应的di满足di+1＞di对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，求实数λ的取值范围．
              难度：中等
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            • 2． 数列{an}各项均为正数，a1=
              1
              2
              ，且对任意的n∈N*，都有an+1=an+can2（c＞0）．
              （1）求
              c
              1+ca1
              +
              c
              1+ca2
              +
              1
              a3
              的值；
              （2）若c=
              1
              2016
              ，是否存在n∈N*，使得an＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 3． 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，对任意的n∈N*都有an+1=3an+3n+1-2n，记bn=
              an-2n
              3n
              （n∈N*）．
              （1）求证：数列{bn}为等差数列；
              （2）求Sn；
              （3）证明：存在k∈N*，使得
              an+1
              an
              ≤
              ak+1
              ak
              ．
              难度：较难
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            • 4． 已知数列{an}的前n项和Sn满足an+1=2Sn+a1，且a1，a2+2，a3成等差数列．
              （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
              （Ⅱ）证明
              1
              a1
              +
              1
              a2
              +
              1
              a3
              +…+
              1
              an
              ＜
              3
              2
              对任意正整n成立．
              难度：中等
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            • 5． 已知函数f（x）=ax+
              a-1
              x
              +（1-2a）（a＞0）
              （1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
              （2）证明：1+
              1
              2
              +
              1
              3
              +…+
              1
              n
              ＞ln（n+1）+
              n
              2(n+1)
              （n≥1）．
              难度：较难
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            • 6． 已知数列{an}满足：
              1
              a1
              +
              1
              a2
              +…+
              1
              an
              =
              n2
              2
              （n∈N*）．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）若bn=anan+1，Sn为数列{bn}的前n项和，对于任意的正整数n，Sn＞2λ-
              1
              3
              恒成立，求实数λ的取值范围．
              难度：中等
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            • 7． 正项数列a1，a2，…，am（m≥4，m∈N*）满足：a1，a2，a3，…，ak-1，ak（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，a1，am，am-1，…，ak+1，ak是公比为2的等比数列．
              （1）若a1=d=2，k=8，求数列a1，a2，…，am的所有项的和Sm；
              （2）若a1=d=2，m＜2016，求m的最大值；
              （3）是否存在正整数k，满足a1+a2+…+ak-1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am-1+am）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 8． 已知数列{an}满足a1=1，a2=
              1
              2
              ，且[3+（-1）n]an+2-2an+2[（-1）n-1]=0，0∈N*，记T2n为数列{an}的前2n项和，数列{bn}是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式（T2n+
              1
              bn
              ）•
              1
              bn
              ＜1成立的最小整数n为（　　）
              A．7
              B．6
              C．5
              D．4
              难度：较易
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            • 9． 设数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=An2+Bn+C（A≠0，n∈N*）．
              （1）当C=1时，
              ①设bn=an-n，若a1=
              3
              2
              ，a2=
              9
              4
              ．求实数A，B的值，并判定数列{bn}是否为等比数列；
              ②若数列{an}是等差数列，求
              B-1
              A
              的值；
              （2）当C=0时，若数列{an}是等差数列，a1=1，且∀n∈N*，λ-
              3
              n+1
              ≤
              n
              i=1
              		1+
              1
              a
              2
              i
              +
              1
              a
              2
              i+1
              ，求实数λ的取值范围．
              难度：较难
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            • 10． 已知非零数列{an}满足a1=1，anan+1=an-2an+1（n∈N*）．
              （1）求证：数列{1+
              1
              an
              }              是等比数列；
              （2）若关于n的不等式
              1
              n+log2(1+
              1
              a1
              )
              +
              1
              n+log2(1+
              1
              a2
              )
              +…+
              1
              n+log2(1+
              1
              an
              )
              ＜m-3有解，求整数m的最小值；
              （3）在数列{1+
              1
              an
              -(-1)n}              中，是否存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤6），使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的r、s；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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