知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+2=2a_n（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，数列{
1
bn•bn+1
}的前n项和为T_n，证明：T_n＜1．

难度：中等

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2．数列{a_n}各项均为正数，a₁=
1
2
，且对任意的n∈N^*，都有a_n+1=a_n+ca_n²（c＞0）．
（1）求
c
1+ca1
+
c
1+ca2
+
1
a3
的值；
（2）若c=
1
2016
，是否存在n∈N^*，使得a_n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．已知数列{x_n}满足x₁=1，x₂=λ，并且
xn+1
xn
=λ
xn
xn-1
（λ为非零常数，n=2，3，4，…）．
（Ⅰ）若x₁，x₃，x₅成等比数列，求λ的值；
（Ⅱ）设0＜λ＜1，常数k∈N^*，证明
x1+k
x1
+
x2+k
x2
+…+
xn+k
xn
＜
λk
1-λk
(n∈N*)．

难度：中等

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4．在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项的和，已知a₁+a₃=22，S₅=45．
（1）求a_n，S_n；
（2）设数列{S_n}中最大项为S_k，求k．

难度：较易

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5．正项数列a₁，a₂，…，a_m（m≥4，m∈N^*）满足：a₁，a₂，a₃，…，a_k-1，a_k（k＜m，k∈N^*）是公差为d的等差数列，a₁，a_m，a_m-1，…，a_k+1，a_k是公比为2的等比数列．
（1）若a₁=d=2，k=8，求数列a₁，a₂，…，a_m的所有项的和S_m；
（2）若a₁=d=2，m＜2016，求m的最大值；
（3）是否存在正整数k，满足a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=3（a_k+1+a_k+2+…+a_m-1+a_m）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，
Sn
n
）在直线y=
1
2
x+
11
2
上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=
3
(2an-11)(2an+1-11)
，求数列{b_n}的前n项和为T_n，并求使不等式T_n＞
k
20
对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

难度：中等

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7．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知8a₁，3a₂，2a₂成等差数列，S₄=5．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的首项为2，公差为-a₁的等差数列，其前n项和为T_n，求满足T_n-1＞0的最大正整数n．

难度：中等

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8．设{x_n}是首项为x₁=2，公比为q（q∈N^*）的等比数列，且6x₃是16x₁与2x₅的等差中项，数列{y_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*）．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）若不等式λx_ny_n-3x_n+1≤n²•2ⁿ对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁=1，a_n+1=
an
an+3
（n∈N^*）．
（1）求证：{
1
an
+
1
2
}是等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）.
n
2n
．a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，
若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+
n
2n-1
对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

难度：较难

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10．已知非零数列{a_n}满足a₁=1，a_na_n+1=a_n-2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{1+
1
an
}是等比数列；
（2）若关于n的不等式
1
n+log2(1+
1
a1
)
+
1
n+log2(1+
1
a2
)
+…+
1
n+log2(1+
1
an
)
＜m-3有解，求整数m的最小值；
（3）在数列{1+
1
an
-(-1)n}中，是否存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤6），使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的r、s；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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