知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．我们把一系列向量
ai
（i=1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{
an
}．已知向量列{
an
}满足：
a1
=（1，1），
an
=（x_n，y_n）=
1
2
（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2）．
（1）证明：数列{|
an
|}是等比数列；
（2）设c_n=|
an
|•log₂|
an
|，问数列{c_n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．
（3）设θ_n表示向量
an-1
与
an
间的夹角，若b_n=
n2
π
θ_n，对于任意的正整数n，不等式
1
bn+1
+
1
bn+2
+…+
1
b2n
＞
1
2
log_a（1-2a）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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2．对于一组向量
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
（n∈N^*），令
Sn
=
a1
+
a2
+
a3
+…+
an
，如果存在
ap
（p∈{1，2，3…，n}），使得|
ap
|≥|
Sn
-
ap
|，那么称
ap
是该向量组的“h向量”．
（1）设
an
=（n，x+n）（n∈N^*），若
a3
是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，
求实数x的取值范围；
（2）若
an
=((
1
3
)n-1，(-1)n)（n∈N^*），向量组
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由；
（3）已知
a1
、
a2
、
a3
均是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，其中
a1
=（sinx，cosx），
a2
=（2cosx，2sinx）．设在平面直角坐标系中有一点列Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n满足：Q₁为坐标原点，Q₂为
a3
的位置向量的终点，且Q_2k+1与Q_2k关于点Q₁对称，Q_2k+2与Q_2k+1（k∈N^*）关于点Q₂对称，求|
Q2013Q2014
|的最小值．

难度：较难

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3．
ai
（i=1，2，…，n）{
an
}{
an
}
a1
=（1，1）
an
=（x_n，y_n）=
1
2
（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2）
（1）证明：数列{|
an
|}是等比数列；
（2）设θ_n表示向量
an-1
与
an
间的夹角，若b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）设c_n=|
an
|•log₂|
an
|，问数列{c_n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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4．已知{a_n}，{b_n} 均为等差数列，前n项和分别为S_n，T_n．
（1）若平面内三个不共线向量
OA
，
OB
，
OC
满足
OC
=a₃
OA
+a₁₅
OB
，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使S_n为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由；
（2）若对 n∈N⁺，有
Sn
Tn
=
31n+101
n+3
，求使
an
bn
为整数的正整数n的集合．

难度：中等

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5．在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，记
AnAn+1
=（a_n，a_n+1）（n∈N^*），且
A1A2
∥
AnAn+1
对任意n∈N^*恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）2ⁿ+3对任意n∈N^*都成立？若存在，求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁=1．已知向量
a
=（2，a_n），
b
=（n+1，S_n）（n∈N^*），且存在常数λ，使
a
=λ
b
．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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7．已知向量
a
=（2ⁿ，a_n），
b
=（a_n+1，2ⁿ⁺¹），（n∈N^*），且a₁=1，若
a
与
b
共线．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}，
x
=（a_n+1，-2），
y
=（1，a_n），且
x
⊥
y
，a₃+2是a₂与a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若满足b_n=13+2log
1
2
a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n的最大值．

难度：中等

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9．已知函数y=1-
1
x+2
的图象按向量
m
=（2，1）平移后便得到函数f（x）的图象，数列{a_n}满足a_n=f（a_n+1）（n≥2，n∈N^Φ）．
（1）若a₁=
3
5
，数列{b_n}满足b_n=
1
an-1
，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）若a₁=
3
5
，数列{a_n}中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由；
（3）若1＜a₁＜2，试证明：1＜a_n+1＜a_n＜2．

难度：较难

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10．已知函数y=f（x）满足
a
=(x2，y)，
b
=(x-
1
x
，-1)，且
a
•
b
=-1．如果存在正项数列{a_n}满足：a1=
1
2
，
n
i=1
f(ai)-n=
n
i=1
ai3-n2an(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）证明：
n
i=1
ai
i
＜3．

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