知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．设向量
a
=(1，2)，
b
=(
1
n2+n
，an)（n∈N^*），若
a
∥
b
，设数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n的最小值为．

难度：中等

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3．有一列向量{
an
}：
a1
=(x1，y1)，
a2
=(x2，y2)，…，
an
=(xn，yn)，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列{
an
}，满足
a1
=(-20，13)，
a3
=(-18，15)，那么这列向量{
an
}中模最小的向量的序号n= ．

难度：较难

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4．
a1
，
a2
，…，
an
，…是按先后顺序排列的一列向量，若
a1
=(-2015，13)，且
an
-
an-1
=(1，1)，则其中模最小的一个向量的序号为．

难度：中等

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5．设

=(cos

kπ

，sin

kπ

+cos

kπ

)，k∈Z，则

a2015

•

a2016

=（　　）

A．

B．

C．2

-1

D．2

难度：较难

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6．我们把一系列向量
ai
（i=1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{
an
}．已知向量列{
an
}满足：
a1
=（1，1），
an
=（x_n，y_n）=
1
2
（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2）．
（1）证明：数列{|
an
|}是等比数列；
（2）设c_n=|
an
|•log₂|
an
|，问数列{c_n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．
（3）设θ_n表示向量
an-1
与
an
间的夹角，若b_n=
n2
π
θ_n，对于任意的正整数n，不等式
1
bn+1
+
1
bn+2
+…+
1
b2n
＞
1
2
log_a（1-2a）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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7．对于一组向量
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
（n∈N^*），令
Sn
=
a1
+
a2
+
a3
+…+
an
，如果存在
ap
（p∈{1，2，3…，n}），使得|
ap
|≥|
Sn
-
ap
|，那么称
ap
是该向量组的“h向量”．
（1）设
an
=（n，x+n）（n∈N^*），若
a3
是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，
求实数x的取值范围；
（2）若
an
=((
1
3
)n-1，(-1)n)（n∈N^*），向量组
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由；
（3）已知
a1
、
a2
、
a3
均是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，其中
a1
=（sinx，cosx），
a2
=（2cosx，2sinx）．设在平面直角坐标系中有一点列Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n满足：Q₁为坐标原点，Q₂为
a3
的位置向量的终点，且Q_2k+1与Q_2k关于点Q₁对称，Q_2k+2与Q_2k+1（k∈N^*）关于点Q₂对称，求|
Q2013Q2014
|的最小值．

难度：较难

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8．已知cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，向量

为单位向量，向量

=（cos

nπ

，sin

nπ

）（n∈N^*），则|

|²+|

|²+…+|

a141

|²的最大值为（　　）

A．284

B．285

C．286

D．287

难度：较易

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9．已知
OA1
=（0，1），
OA2
=（0，5），
.
An-1An
=2
AnAn+1
（n≥2，n∈N^*），则
A7A8
等于．

难度：较易

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10．已知向量
a
=（2ⁿ，a_n），
b
=（a_n+1，2ⁿ⁺¹），（n∈N^*），且a₁=1，若
a
与
b
共线．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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