知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点列A_n{n，a_n}、B_n{n，b_n}、C_n{n-1，0}，a₁=b₁=1，
BnBn+1
=（1，2），
AnAn+1
∥
BnCn

（Ⅰ）求证数列{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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2．若向量
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=(sinωx，0)，其中ω＞0，记函数f(x)=(
a
+
b
)•
b
-
1
2
，若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列．
（1）求f（x）的表达式及m的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移
π
12
，得到y=g（x）的图象，当x∈(
π
2
，
7π
4
)时，y=g（x）与y=cosα的交点横坐标成等比数列，求钝角α的值．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和．等比数列{b_n}的前三项分别为a₂，a₅，a₁₁．
（1）求数列{b_n}的公比q；
（2）若a₁=1，
OQn
=（
an
n
，
Sn
n2
）（n∈N^*），求|
OQn
|的最大值．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=

(4-

)x+4(x≤6)

ax-5(x＞6)

，（a＞0，a≠1）．若数列{a_n}满足a_n=f（n）且a_n+1＞a_n，n∈N^*，则实数a的取值范围是（　　）

A．（7，8）

B．[7，8）

C．（4，8）

D．（1，8）

难度：较难

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5．设函数f（x）=x（

）^x+

x+1

，A₀为坐标原点，A为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）的点，向量

k=1

Ak-1Ak

，向量

=（1，0），设θn为向量

与向量

的夹角，满足

k=1

tanθ_k＜

的最大整数n是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

难度：较难

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6．已知f(x)=
1
4x+2
(x∈R)，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上两点，且线段P₁P₂中点P的横坐标是
1
2
．
（1）求证点P的纵坐标是定值；
（2）若数列{a_n}的通项公式是an=f(
n
m
)（m∈N^*），n=1，2…m），求数列{a_n}的前m项和S_m；
（3）在（2）的条件下，若m∈N^*时，不等式
am
Sm
＜
am+1
Sm+1
恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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7．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，
a
=（S_n，1），
b
=（-1，2a_n+2ⁿ⁺¹），
a
⊥
b
．
（1）证明：数列{
an
2n
}为等差数列；
（2）若bn=
n-2011
n+1
an，且存在n₀，对于任意的k（k∈N₊），不等式bk≤bn0成立，求n₀的值．

难度：中等

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8．在平面直角坐标系中，已知三个点列{A_n}、{B_n}、{C_n}，其中A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）满足：向量
AnAn+1
与向量
BnCn
共线，且点列{B_n}在方向向量为（1，6）的直线上，a₁=a，b₁=-a．
（1）试用a与n表示a_n（n≥2）；
（2）若a₆与a₇两项中至少有一项是a_n的最小值，试求a的取值范围．

难度：中等

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9．已知
m
=(sinA，cosA)，
n
=(-sinB，cosB)，
m
•
n
=cos2c，且A、B、C分别为a、b、c 三边所对的角．
（1）求角C的大小
（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且
CA
•(
AB
-
AC
)=18，求a+b的值．

难度：中等

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10．已知点集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(2x-b，1)，
n
=(1，b+1)，点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若f(n)=
an(n=2k-1)
bn(n=2k)
(k∈N+)，是否存在k∈N₊使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
（n≥2，n∈N^*）．

难度：较难

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