知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．对于一组向量
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
（n∈N^*），令
Sn
=
a1
+
a2
+
a3
+…+
an
，如果存在
ap
（p∈{1，2，3…，n}），使得|
aP
|≥|
Sn
-
aP
|，那么称
ap
是该向量组的“h向量”；
（1）设
an
=（n，n+x）（n∈N^*），若
a3
是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，求x的范围；
（2）若
an
=((
1
3
)n-1，(-1)n)（n∈N^*），向量组
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
（n∈N^*）是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由．

难度：中等

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2．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中ω＞0．设f（x）=
OA
•
OB
．
（Ⅰ）记函数y=f（x）的正的零点从小到大构成数列{a_n}（n∈N^*），当a=
3
，b=1，ω=2时，求{a_n}的通项公式与前n项和S_n；
（Ⅱ）记函数g（x）=2^x，且g（b）=g（a）•g（-2）．当x∈R时，设f（x）的值域为M，不等式x²+mx＜0的解集为N，若N⊆M，求实数m的最大值；
（Ⅲ）令ω=1，a=t²，b=（1-t）²，若不等式f（θ）-
ab
＞0对任意的t∈[0，1]恒成立，求θ的取值范围．

难度：较难

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3．已知非零向量列{
an
}满足：
a1
=（x₁，y₁），
an
=（x_n，y_n）=
1
2
（x_n-1-y_n-1，x_n+1+y_n+1）（n≥2，n∈N^*），
（1）证明：数列{|
an
|}是等比数列；
（2）向量
an-1
与
an
的夹角；
（3）设
a1
=（1，2），将
a1
，
a2
，
a3
…
an
，…中所有与
a1
共线的向量按原来的顺序排成一列，记作
b1
，
b2
，
b3
…
bn
，…，令
OBn
=
b1
+
b2
+
b3
+…+
bn
，O为坐标原点，求点B_n的坐标．

难度：中等

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4．若等差数列{a_n}满足a₁+2014a₂₀₁₄=2013a₂₀₁₃，O为坐标原点，点P（1，a₁），Q（2014，a₂₀₁₄），则
OP
•
OQ
= ．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n；且向量
a
=（n，S_n），
b
=（4，n+3）共线．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列{
1
nan
}的前n项和T_n．

难度：中等

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6．设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，向量
a
=（
Sn
，1），
b
=（a_n+1，2）（n∈N^*）满足
a
∥
b
．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式为b_n=
an
an+t
（t∈N^*），若b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差数列，求t和m的值；
（3）如果等比数列{c_n}满足c₁=a₁，公比q满足0＜q＜
1
2
，且对任意正整数k，c_k-（c_k+1+c_k+2）仍是该数列中的某一项，求公比q的取值范围．

难度：较难

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7．已知可由数列{a_n}构造一列向量：
βn
=（2a_n，a_n+1-2ⁿ⁺¹），n∈Z₊．又向量
m
=（1，3），
p
=（3a₁，7-a₂），且向量
m
与
p
垂直，以及向量
m
与
βn
平行（n∈Z₊）．
（1）试确定a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：较难

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8．已知{a_n}是等差数列，S_n为其前n项和，若S₂₁=S₄₀₀₀，O为坐标原点，点P（1，a₁），点Q（2011，a₂₀₁₁），则

•

的值为（　　）

A．2011

B．-2011

D．1

难度：较难

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9．已知三个非零向量
OA
，
OB
，
OC
且A，B，C三点共线，数列{a_n}为等差数列，{S_n}为其前n项和．若
OA
=a₂
OB
+a₂₀₁₂
OC
，则S₂₀₁₃= ．

难度：中等

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10．已知向量
m
=(sinA，sinB)，且B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且
CA
•
CB
=18，求c边的长．

难度：中等

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