知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．对于一组向量
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
（n∈N^*），令
Sn
=
a1
+
a2
+
a3
+…+
an
，如果存在
ap
（p∈{1，2，3…，n}），使得|
aP
|≥|
Sn
-
aP
|，那么称
ap
是该向量组的“h向量”；
（1）设
an
=（n，n+x）（n∈N^*），若
a3
是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，求x的范围；
（2）若
an
=((
1
3
)n-1，(-1)n)（n∈N^*），向量组
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
（n∈N^*）是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由．

难度：中等

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2．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中ω＞0．设f（x）=
OA
•
OB
．
（Ⅰ）记函数y=f（x）的正的零点从小到大构成数列{a_n}（n∈N^*），当a=
3
，b=1，ω=2时，求{a_n}的通项公式与前n项和S_n；
（Ⅱ）记函数g（x）=2^x，且g（b）=g（a）•g（-2）．当x∈R时，设f（x）的值域为M，不等式x²+mx＜0的解集为N，若N⊆M，求实数m的最大值；
（Ⅲ）令ω=1，a=t²，b=（1-t）²，若不等式f（θ）-
ab
＞0对任意的t∈[0，1]恒成立，求θ的取值范围．

难度：较难

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3．我们把一系列向量
ai
（i=1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{
an
}．已知向量列{
an
}满足：
a1
=（1，1），
an
=（x_n，y_n）=
1
2
（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2）．
（1）证明：数列{|
an
|}是等比数列；
（2）设c_n=|
an
|•log₂|
an
|，问数列{c_n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．
（3）设θ_n表示向量
an-1
与
an
间的夹角，若b_n=
n2
π
θ_n，对于任意的正整数n，不等式
1
bn+1
+
1
bn+2
+…+
1
b2n
＞
1
2
log_a（1-2a）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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4．对于一组向量
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
（n∈N^*），令
Sn
=
a1
+
a2
+
a3
+…+
an
，如果存在
ap
（p∈{1，2，3…，n}），使得|
ap
|≥|
Sn
-
ap
|，那么称
ap
是该向量组的“h向量”．
（1）设
an
=（n，x+n）（n∈N^*），若
a3
是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，
求实数x的取值范围；
（2）若
an
=((
1
3
)n-1，(-1)n)（n∈N^*），向量组
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由；
（3）已知
a1
、
a2
、
a3
均是向量组
a1
，
a2
，
a3
的“h向量”，其中
a1
=（sinx，cosx），
a2
=（2cosx，2sinx）．设在平面直角坐标系中有一点列Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n满足：Q₁为坐标原点，Q₂为
a3
的位置向量的终点，且Q_2k+1与Q_2k关于点Q₁对称，Q_2k+2与Q_2k+1（k∈N^*）关于点Q₂对称，求|
Q2013Q2014
|的最小值．

难度：较难

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5．已知点列A_n{n，a_n}、B_n{n，b_n}、C_n{n-1，0}，a₁=b₁=1，
BnBn+1
=（1，2），
AnAn+1
∥
BnCn

（Ⅰ）求证数列{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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6．
ai
（i=1，2，…，n）{
an
}{
an
}
a1
=（1，1）
an
=（x_n，y_n）=
1
2
（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2）
（1）证明：数列{|
an
|}是等比数列；
（2）设θ_n表示向量
an-1
与
an
间的夹角，若b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）设c_n=|
an
|•log₂|
an
|，问数列{c_n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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7．已知{a_n}，{b_n} 均为等差数列，前n项和分别为S_n，T_n．
（1）若平面内三个不共线向量
OA
，
OB
，
OC
满足
OC
=a₃
OA
+a₁₅
OB
，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使S_n为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由；
（2）若对 n∈N⁺，有
Sn
Tn
=
31n+101
n+3
，求使
an
bn
为整数的正整数n的集合．

难度：中等

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8．已知非零向量列{
an
}满足：
a1
=（x₁，y₁），
an
=（x_n，y_n）=
1
2
（x_n-1-y_n-1，x_n+1+y_n+1）（n≥2，n∈N^*），
（1）证明：数列{|
an
|}是等比数列；
（2）向量
an-1
与
an
的夹角；
（3）设
a1
=（1，2），将
a1
，
a2
，
a3
…
an
，…中所有与
a1
共线的向量按原来的顺序排成一列，记作
b1
，
b2
，
b3
…
bn
，…，令
OBn
=
b1
+
b2
+
b3
+…+
bn
，O为坐标原点，求点B_n的坐标．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和．等比数列{b_n}的前三项分别为a₂，a₅，a₁₁．
（1）求数列{b_n}的公比q；
（2）若a₁=1，
OQn
=（
an
n
，
Sn
n2
）（n∈N^*），求|
OQn
|的最大值．

难度：中等

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10．已知可由数列{a_n}构造一列向量：
βn
=（2a_n，a_n+1-2ⁿ⁺¹），n∈Z₊．又向量
m
=（1，3），
p
=（3a₁，7-a₂），且向量
m
与
p
垂直，以及向量
m
与
βn
平行（n∈Z₊）．
（1）试确定a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：较难

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