知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知数列{a_n}满足：a₁=
1
2
，a_n+1=sin（
π
2
a_n），n∈N^*
（Ⅰ）求证：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅱ）求证：sin[
π
4
（1-a_n）]＜
1
2
；
（Ⅲ）求证：a_n≥1-
1
2
（
π
4
）^n-1．

难度：较难

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3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且sinA+sinC=
3
．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求4sinAcosC的取值范围．

难度：中等

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4．已知公差为d（0＜d＜1）的等差数列{a_n}满足sina₆cosa₄-cosa₆sina₄=1，且a₂=
π
2
，则d= ，a_n= ，sina₇= ．

难度：较易

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5．在△ABC中，内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．
（1）若sinA，sinB，sinC 成等差数列，试判断△ABC的形状；
（2）若B=30°，S_△ABC=
3
2
，求b．

难度：中等

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6．设函数f（x）=
1
2
+cosx的所有正的零点从小到达排成的数列为{x_n}，则数列{x_n}的通项公式为．

难度：较易

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7．对于数列{a_n}，有a₀=1，a_i∈[0，
π
2
]，tana_n=
1+tan2an-1
-1
tanan-1
，求a₁₀₀．

难度：中等

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8．已知直线l是y=sinx+3cosx在x=
π
4
处的切线，点（sinn
π
2
，an+
2
π
4
）在直线l上，则数列{a_n}的前30项和为．

难度：较易

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9．设函数f（x）=
π
2
-cosx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x_n}．
（1）求数列{x_n}；
（2）设{x_n}的前n项和为S_n，求tanS_n．

难度：中等

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10．已知α为锐角，且tanα=
2
-1，函数f（x）=2xtan2α+sin（2α+
π
4
），数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n=log₂（a_n+1），设T_n=
1
b1+n
+
1
b2+n
+…+
1
bn+n
，若T_n＞m对x≥2恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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