知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•上海二模）已知正四面体A₁A₂A₃A₄，点A₅，A₆，A₇，A₈，A₉，A₁₀分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积
A1A2
•
AiAj
的不同数值的个数为．

难度：中等

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2．（2015秋•广州校级期末）如图，A，B，C的坐标分别为（-
c
2
，0），（
c
2
，0），（m，n），G，O′，H分别为△ABC的重心，外心，垂心．
（1）写出重心G的坐标；
（2）求外心O′，垂心H的坐标；
（3）求证：G，H，O′三点共线，且满足|GH|=2|OG′|．

难度：中等

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3．如图所示，A、B、D、E四点在同一直线上，△ABC是边长为2的正三角形，DEFG是边长为2的正方形，在静止状态时，B点在D点的左侧，且|
BD
|=1，让A点沿直线AB从左到右运动，当A点运动到E点时，运动结束．
（1）求在静止状态时，
BF
•
CE
的值；
（2）当A点运动时，求
BF
•
CE
的最小值．

难度：中等

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4．已知点G为△ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，若
AP
=λ
AB
，
AQ
=μ
AC
．证明：
1
λ
+
1
μ
为常数．

难度：中等

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5．（2015秋•松原期末）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧
DE
上变动（如图所示），若
AP
=λ
ED
+μ
AF
，其中λ，μ∈R．则2λ-μ的取值范围是．

难度：较难

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6．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x²+y²=1上．
（Ⅰ）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C₁于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，求证：λ₁+λ₂为定值．
（Ⅲ）直线l交椭圆C₂于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，
OP
•
OQ
+
OP′
•
OQ′
+1=0，若点S满足：
OS
=
OP
+
OQ
，证明：点S在椭圆C₂上．

难度：较难

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