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          共50条信息

            • 1． 先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22≥
              1
              2
              ．
              【证明】构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2
              则f（x）=2x2-2（a1+a2）x+a12+a22
              =              2x2-2x+a12+a22
              因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0．
              所以△=4-8（a12+a22）≤0，从而得a12+a22≥
              1
              2
              ，
              （1）若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，请写出上述结论的推广式；
              （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
              难度：较难
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            • 2． 设函数f（x）定义域为[0，1]，若f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称x*为函数f（x）的峰点，f（x）为含峰函数．（特别地，若f（x）在[0，1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）
              对于不易直接求出峰点x*的含峰函数，可通过做试验的方法给出x*的近似值．试验原理为：“对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间，此时称x1为近似峰点；若f（x1）＜f（x2），则（x1，1）为含峰区间，此时称x2为近似峰点”．
              我们把近似峰点与x*之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d，其值为d=max{max{x1，x2-x1}，max{x2-x1，1-x2}}（其中max{x，y}表示x，y中较大的数）．
              （Ⅰ）若x1=
              1
              4
              ，x2=
              1
              2
              ．求此试验的预计误差d．
              （Ⅱ）如何选取x1、x2，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明x1的取值即可）
              （Ⅲ）选取x1，x2∈（0，1），x1＜x2，可以确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1）．在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可以进一步得到一个新的预计误差d′．分别求出当x1=
              1
              4
              和x1=
              2
              5
              时预计误差d′的最小值．（本问只写结果，不必证明）
              难度：较难
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            • 3． 已知5名发热感冒患者中，有1人被H7N9禽流感病毒感染，需要通过化验血液来确定谁是H7N9禽流感患者，血液化验结果呈阳性的即为普通感冒患者，呈阴性的即为禽流感患者，下面是两种化验方案：
              方案甲：逐个化验，知道能确定禽流感患者为止；
              方案乙：先任选3人，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阴性，则表明禽流感患者在他们3人之中，然后再逐个化验，直到确定禽流感患者为止；若结果呈阳性，则在另外2人中任选1人化验．
              （1）求依方案乙所需化验次数恰好为2的概率；
              （2）试比较两种方案，哪种方案有利于尽快查找到禽流感患者．
              难度：中等
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            • 4． （1）有时一个式子可以分拆成两个式子，求和时可以达到相消化简的目的，如我们初中曾学
              过：
              1
              1×2
              +
              1
              2×3
              +              …+
              1
              99×100
              =（1-
              1
              2
              ）+（
              1
              2
              -
              1
              3
              ）+…+（
              1
              99
              -
              1
              100
              ）=1-
              1
              100
              =
              99
              100

              请用上面的数学思维来证明如下：
              1
              sin2x
              +
              1
              sin4x
              +
              1
              sin8x
              +
              1
              sin16x
              +
              1
              sin32x
              =cotx-cot32x（注意：cotx=
              cosx
              sinx
              ）
              （2）当0＜x＜
              π
              2
              时，且
              sin8x-sinx
              sinxsin8x
              =
              sin4x+sin2x
              sin2xsin4x
              ，求x的值．
              难度：较难
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