知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设集合M={1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S_n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T_n．
（1）求
T3
S3
，
T4
S4
，
T5
S5
，
T6
S6
的值；
（2）猜想
Tn
Sn
的表达式，并证明之．

难度：较难

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2．已知f（x）=
x
ex
，定义f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N．经计算f₁（x）=
1-x
ex
，f₂（x）=
x-2
ex
，f₃（x）=
3-x
ex
，…，照此规律．
（Ⅰ）请归纳出f_n（x）的表达式；
（Ⅱ）试用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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3．对于下列数的排列：
2，3，4
3，4，5，6，7
4，5，6，7，8，9，10
…
写出并证明第n行所有数的和a_n与n的关系式．

难度：中等

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4．对于数列{a_n}，a₁=a+
1
a
（a＞0．，且a≠1），a_n+1=a₁-
1
an
．
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想这个数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

难度：中等

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5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，它们的体积比为多少？你能验证这个结论吗？

难度：较易

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6．观察以下各式：cos6°cos54°cos66°=
1
4
cos18°，cos19°cos41°cos79°=
1
4
cos57°，cos27°cos33°cos87°=
1
4
cos81°．
（1）分析上述各式的共同特点，写出一个能反映一般规律的等式；
（2）证明你写出的等式．

难度：中等

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7．证明：若2^-x-2^y＞lnx-1n（-y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．

难度：中等

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8．已知正△ABC内一点D，满足∠ADC=150°．证明：由线段AD、BD、CD为边构成的三角形是直角三角形．

难度：中等

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9．已知集合S={x|-1＜x＜1}，在S中定义一种运算“*”，当a，b∈S时，a*b=
a+b
1+ab
．
（1）求证：a*b=S；
（2）求证：（a*b）*c=a*（b*c）（a，b，c∈S）

难度：中等

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10．设n∈N且n≥15，A，B都是{1，2，3，…，n}真子集，A∩B=∅，且A∪B={1，2，3，…，n}．证明：A或者B中必有两个不同数的和是完全平方数．

难度：中等

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