知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为
π
3
的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=α，
（1）求矩形ABCD的面积y关于角α的函数关系式y=f（α）；
（2）求y=f（α）的单调递增区间；
（3）问当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

难度：中等

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2．如图OPQ是半径为
2
，圆心角为
π
4
的扇形，ABCD是扇形OPQ的内接距形，A，B在OP上，点D在OQ上，点C在弧PQ上，记∠POQ=θ；
（Ⅰ）用含θ的式子表示AB的长；
（Ⅱ）记距形ABCD的面积为f（θ），求f（θ）的单调区间和最大值．

难度：中等

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3．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=
3
，P是AB的中点，该矩形有一内接Rt△PQR，P为直角顶点，Q、R分别落在线段BC和线段AD上，记Rt△PQR的面积为S．
（Ⅰ）设∠BPQ为α，求S=f（α）及f（α）的最大值；
（Ⅱ）设BQ=x，求S=g（x）及g（x）的最小值．

难度：较难

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4．已知某人的血压满足函数关系式f（t）=24sin160πt+110，其中f（t）为血压（mmHg），t为时间（min），则此人每分钟心跳次数为．

难度：较易

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5．在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票．股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l：x=34对称．老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F．现在老张决定取点A（0，22），点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数a，b，ω，φ，并且求得ω=
π
72
．
（1）请你帮老张算出a，b，φ，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）
（2）老张如能在今天以D点处的价格买入该股票3000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

难度：较难

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6．如图，四边形ABCD是半径为1的半圆O的内接矩形，其中A、D在直径上，Q为弧CB的中点，设∠BOQ=θ，记f（θ）=
1
OA
+
1
AB
，求f（θ）的最小值．

难度：中等

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7．如图，扇形MON的半径为2，圆心角为
2
3
π，四边形ABCD为扇形的内接等腰梯形，其中底边AB的两个端点分别在半径ON和0M上，C、D在弧
MQN
上，Q为弧
MN
的中点，∠ABC=
2
3
π，求梯形ABCD面积的最大值．

难度：较难

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8．作出下列函数的图象：
（1）f（x）=|sinx|，x∈[-π，2π]；
（2）f（x）=sin|x|，x∈[-2π，2π]．

难度：中等

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9．已知cos（
π
6
-α）=a（|a|≤1），求cos（
5π
6
+α）

难度：较易

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10．某工厂生产主要产品后，留下大量中心角为60°，半径为a的扇形边角料，现要废物利用，从中剪裁出矩形毛坯，要求矩形面积尽可能大，并如图设计了两种裁剪方法，一种是使矩形的一边落在扇形的半径上，另一种是使矩形的两顶点分别在扇形的两条半径上，请选出最佳方案．

难度：中等

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