知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量
m
=(sin2x+
1+cos2x
2
，sinx)，
n
=(
1
2
cos2x-
3
2
sin2x，2sinx)，设函数f(x)=
m
•
n
，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[0，
π
2
]，求函数f（x）值域．

难度：中等

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2．设向量
a
=（2cosx，1），向量
b
=（
3
cosx，sin2x-
3
），函数f（x）=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2
3
，b=3
2
，f（A）=1，求c．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=-
2
2
，求角x的大小；
（2）当x∈[0，
π
2
]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．

难度：中等

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4．函数f(x)=sin(x+
π
2
)•cosx的最小正周期是．

难度：较易

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5．已知函数f（x）=2sin²x（
π
4
-x）-
3
（sin²x-cos²x）．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若f（x）＜m+2，在x∈[0，
π
6
]上恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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6．已知tan(α+
π
6
)=2+
3
，α∈(0，
π
2
)．
（I）求tanα的值；
（II）若f(x)=
2
sinxcosx+sinacos2x，求f(x)的最小正周期和单调递增区间．

难度：较易

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7．已知向量
p
=（sinx，
3
cosx），
q
=（cosx，cosx），定义函数f（x）=
p
•
q

（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）若△ABC的三边长a，b，c成等比数列，且c²+ac-a²=bc，求边a所对角A以及f（A）
的大小．

难度：中等

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8．已知O为坐标原点，M(cosx，2
3
)，N(2cosx，sinxcosx+
3
6
a)其中
x∈R，a为常数，设函数f(x)=
OM
•
ON
．
（1）求函数y=f（x）的表达式和最小正周期；
（2）若角C为△ABC的三个内角中的最大角且y=f（C）的最小值为0，求a的值；
（3）在（2）的条件下，试画出y=f（x）（x∈[0，π]）的简图．

难度：中等

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9．已知命题
①函数f(x)=
1
lgx
在（0，+∞）上是减函数；
②函数f（x）的定义域为R，f（x）在R上可导，f′（x₀）=0是x=x₀为极值点的既不充分也不必要条件；
③函数f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期为w=π；
④在平面上，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线．
其中，正确命题的序号是．

难度：较难

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10．请选做一题，都做时按先做的题判分，都做不加分．
（1）已知向量
m
=（2sinx，cosx-sinx），
n
=(
3
cosx，cosx+sinx)，函数f（x）=
m
•
n
．
①求函数f（x）的最小正周期和值域；
②在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f(
A
2
)=2且a²=bc，试判断△ABC的形状．
（2）已知锐角△ABC，sin（A+B）=
3
5
，sin(A-B)=
1
5
．
①求证：tanA=2tanB；
②设AB=3，求AB边上的高CD的长．

难度：较易

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