知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）化简：
sin(π-α)cos(3π-α)tan(-α-π)tan(α-2π)
tan(4π-α)sin(5π+a)

（2）化简：
sin(5400-x)
tan(9000-x)
•
1
tan(4500-x)tan(8100-x)
•
cos(3600-x)
sin(-x)
．

难度：中等

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2．已知sinα+cosα=
2
3
，0＜α＜π，则tan（α-
π
4
）= ．

难度：中等

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3．已知角α的终边过点（3，4）．
（Ⅰ）求sinα，cosα的值；
（Ⅱ）求
2cos(
π
2
-α)-cos(π+α)
2sin(π-α)
的值．

难度：中等

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4．已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α= ．

难度：较易

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5．如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（-
5
5
，
2
5
5
），∠AOB=α．
（1）求
5cosα+6sinα
4cosα-3sinα
的值；
（2）设∠AOP=θ（
π
6
≤θ≤
2π
3
），
OQ
=
OA
+
OP
，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（
OA
•
OQ
-
1
2
）²+2S²-
1
2
，求f（θ）的最值及此时θ的值．

难度：中等

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6．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为
π
3
的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=α，
（1）求矩形ABCD的面积y关于角α的函数关系式y=f（α）；
（2）求y=f（α）的单调递增区间；
（3）问当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

难度：中等

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7．函数sinhx=
ex-e-x
2
称为“双曲正弦函数”，类似地，函数coshx=
ex+e-x
2
称为“双曲余弦函数”．
（Ⅰ）判断双曲正弦函数的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）双曲函数的恒等变形多具有与三角函数的恒等变形相似甚至相同的形式，请判断下列等式恒成立的是．（填写序号）
①sinh²x+cosh²x=1；
②sinh2x=2sinhx•coshy；
③cosh2x=cosh²x-sinh²x．
（Ⅲ）请合理定义“双曲正切函数”y=tanhx，写出用tanhx表示tanh2x的恒等变形式，并证明之．

难度：中等

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8．已知直线l：x-y+1=0和点A（1，0）
（Ⅰ）过点A作直线l的垂线，垂足为B，求点B的坐标；
（Ⅱ）若直线l与x轴的交点为C，将△ABC绕直线l旋转一周，求所得几何体的表面积．

难度：中等

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9．已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函数f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a为常数）．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x₁，x₂，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，当且仅当x₁=x₂时取“=”．求证：当a＞
2π
3
时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

难度：较难

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