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          共50条信息

            • 1．

              \(21.\)已知\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是椭圆\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点，离心率为\( \dfrac{1}{2}\)，\(P\)为椭圆上的一点，且\(∠F_{1}PF_{2}=60^{\circ}\)，\(\triangle PF_{1}F_{2}\)的面积为\( \sqrt{3}\)．


               \((1)\)求椭圆的方程；

              \((2)\)若直线\(l\)：\(y=- \dfrac{1}{2}x+m\)与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点，与以\(F_{1}F_{2}\)为直径的圆交于\(C\)，\(D\)两点，且满足\( \dfrac{|AB|}{|CD|}= \dfrac{5 \sqrt{3}}{4}\)，求直线\(l\)的方程．

              难度：中等
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            • 2．

              已知点\(P\)\((2,2)\)，圆\(C\)：\(x\)\({\,\!}^{2}+\)\(y\)\({\,\!}^{2}-8\)\(y\)\(=0\)，过点\(P\)的动直线\(l\)与圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，线段\(AB\)的中点为\(M\)，\(O\)为坐标原点．

              \((1)\)求\(M\)的轨迹方程；

              \((2)\)当\(|\)\(OP\)\(|=|\)\(OM\)\(|\)时，求\(l\)的方程及\(\triangle \)\(POM\)的面积．

              难度：难
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            • 3．
              如图，\(OA\)是南北方向的一条公路，\(OB\)是北偏东\(45^{\circ}\)方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线\(C.\)为方便游客观光，拟过曲线\(C\)上某点\(P\)分别修建与公路\(OA\)，\(OB\)垂直的两条道路\(PM\)，\(PN\)，且\(PM\)，\(PN\)的造价分别为每\(100\)米\(5\)万元、每\(100\)米\(40\)万元\(.\)建立如图所示的平面直角坐标系\(xOy\)，则曲线\(C\)符合函数\(y=x+\dfrac{4\sqrt{2}}{x^{2}}(\)单位：\(100\)米，\(1\leqslant x\leqslant 9)\)的模型\(.\)设\(PM=x\)，修建两条道路\(PM\)，\(PN\)的总造价为\(f(x)(\)单位：万元\()\)．

              \((1)\) 求\(f(x)\)的解析式\(;\)

              \((2)\) 当\(x\)为多少时，总造价\(f(x)\)最低\(?\)并求出最低总造价．

              难度：易
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            • 4．

              已知实数\(x\)，\(y\)满足\(\begin{cases} (x-y+6)(x+y-6)\geqslant 0 \\ 1\leqslant x\leqslant 4 \end{cases}\)，求\(x^{2}+y^{2}-2\)的取值范围．

              难度：中等
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            • 5．

              在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\({{C}_{1}}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=2+2\cos \theta \\ & y=2\sin \theta \end{cases}\)，\((\theta \)为参数\()\)，\(M\)为曲线\({{C}_{1}}\)上的动点，动点\(P\)满足\(\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{OM}(a > 0\)且\(a\ne 1)\)，\(P\)点的轨迹为曲线\({{C}_{2}}\)．

              \((1)\)求曲线\({{C}_{2}}\)的方程，并说明\({{C}_{2}}\)是什么曲线；

              \((2)\)在以坐标原点为极点，以\(x\)轴的正半轴为极轴的极坐标系中，\(A\)点的极坐标为\((2,\dfrac{\pi }{3})\)，射线\(\theta =\alpha \)与\({{C}_{2}}\)的异于极点的交点为\(B\)，已知\(\Delta AOB\)面积的最大值为\(4+2\sqrt{3}\)，求\(a\)的值．

              难度：较难
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            • 6．

              已知圆\(C\)的圆心在\(x\)轴的正半轴上，点\(M(0,\sqrt{5})\)在圆\(C\)上，且圆心到直线\(2x-y=0\)的距离为\(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\)，则圆\(C\)的方程为____．

              难度：较易
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            • 7．
              在抛物线\(y=4x^{2}\)上求一点，使这点到直线\(y=4x-5\)的距离最短．
              难度：较易
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            • 8．

              如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(A(0,3)\)，直线\(l \)：\(y=2x-4.\)设圆\(C\)的半径为\(1\)，圆心在\(l \)上\(.\)

              \((1)\)若圆心\(C\)也在直线\(y=x-1\)上，过点\(A\)作圆\(C\)的切线，求切线的方程；

              \((2)\)若圆\(C\)上存在点\(M\)，使\(MA=2MO\)，求圆心\(C\)的横坐标\(a\)的取值范围．

              难度：较难
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            • 9．

              已知直线\(l\)：\(\rho \sin (\theta +\dfrac{\pi }{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}m\)，曲线\(C\)：\(\begin{cases} & x=1+\sqrt{3}\cos \theta \\ & y=\sqrt{3}\sin \theta \end{cases}(\theta \)为参数\()\)

              \((1)\)当\(m=3\)时，判断直线\(l\)与曲线\(C\)的位置关系；

              \((2)\)若曲线\(C\)上存在到直线\(l\)的距离等于\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)的点，求实数\(m\)的范围．

              难度：中等
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            • 10．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)的参数方程为\( \begin{cases} \overset{x=-2-3t}{y=2-4t}\end{cases}(t{为参数})\)它与曲线\(C\)：\((y-2)^{2}-x^{2}=1\)交于\(A\)、\(B\)两点．
              \((1)\)求\(|AB|\)的长；
              \((2)\)在以\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点\(P\)的极坐标为\((2 \sqrt {2}, \dfrac {3π}{4})\)，求点\(P\)到线段\(AB\)中点\(M\)的距离．
              难度：难
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