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          共50条信息

            • 1．

              \(21.\)已知\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是椭圆\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点，离心率为\( \dfrac{1}{2}\)，\(P\)为椭圆上的一点，且\(∠F_{1}PF_{2}=60^{\circ}\)，\(\triangle PF_{1}F_{2}\)的面积为\( \sqrt{3}\)．


               \((1)\)求椭圆的方程；

              \((2)\)若直线\(l\)：\(y=- \dfrac{1}{2}x+m\)与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点，与以\(F_{1}F_{2}\)为直径的圆交于\(C\)，\(D\)两点，且满足\( \dfrac{|AB|}{|CD|}= \dfrac{5 \sqrt{3}}{4}\)，求直线\(l\)的方程．

              难度：中等
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            • 2．

              如图，已知抛物线 \(C\)：\({y}^{2}=2px \) 和\(⊙M \)：\({\left(x-4\right)}^{2}+{y}^{2}=1 \)，过抛物线\(C\)上一点\(H\left({x}_{0}\;,\;{y}_{0}\right)\left({y}_{0}\geqslant 1\right) \) 作两条直线与\(⊙M \)相切于\(A\)，\(B\)两点，分别交抛物线为\(E\)，\(F\)两点，圆心点\(M\)到抛物线准线的距离为\( \dfrac{17}{4} \)．

              \((1)\)求抛物线\(C\)的方程；

              \((2)\)当\(∠AHB \)的角平分线垂直\(x\)轴时，求直线\(EF\)的斜率；

              \((3)\)若直线\(AB\)在\(y\)轴上的截距为\(t\)，求\(t\)的最小值．

              难度：中等
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            • 3．

              给出下列命题：

              \(①\)已知圆\(C:x^{2}+y^{2}=1\)外一点\(P(3,4)\)，过点\(P\)作圆\(C\)的切线，切点分别为点\(A\)、\(B\)，则\(AB\)所在的直线方程为\(3x+4y-2=0\)；

              \(②\)已知\(BC\)是圆\(x^{2}+y^{2}=25\)的动弦，且\(|BC|=6\)，则\(BC\)的中点的轨迹方程是\(x^{2}+y^{2}=16\)；

              \(③\)已知\(A\)、\(B\)两点的坐标分别为\(A(x_{1},y_{1})\)、\(B(x_{2},y_{2})\)，则以\(AB\)为直径的圆的方程为：\((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0\)；

              \(④\)已知直角坐标系中圆\(C\)方程为\(F(x,y)=0\)，\(P(x_{0},y_{0})\)为圆内一点\((\)非圆心\()\)，那么方程\(F(x,y)=F(x_{0},y_{0})\)所表示的曲线是比圆\(C\)半径小，与圆\(C\)同心的圆；

              \(⑤\)曲线\(x^{2}+y^{2}-|x|-|y|=0\)围成的图形的面积为\(π\)．

              其中正确的命题为_________．

              难度：中等
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            • 4．

              过双曲线\(2x^{2}-y^{2}=2\)的右焦点作直线\(l\)交双曲线于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AB|=4\)，则这样的直线有________条。

              难度：中等
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            • 5．

              已知\(P(x,y)\)是直线\(kx+y+4=0(k > 0)\)上一点，\(PA\)是圆\(C\)：\(x^{2}+y^{2}-2y=0\)的一条切线，\(A\)是切点，若\(PA\)的最小长度为\(2\)，则\(k\)的值为\((\)　　\()\)

              A．\(3\)                                               
              B．\( \dfrac{ \sqrt{21}}{2}\)

              C．\(2 \sqrt{2}\)                                    
              D．\(2\)
              难度：中等
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            • 6．

              已知椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\ (a > b > 0)\)，\(A\)、\(B\)是椭圆上的两点，线段\(AB\)的垂直平分线与\(x\)轴相交于点\(P({{x}_{0}},0)\)\(.\)证明：\(-\dfrac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{a} < {{x}_{0}} < \dfrac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{a}.\)

              难度：较难
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            • 7．

              已知椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1\ \)，试确定\(m\)的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线\(y=4x+m\)对称。

              难度：较难
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            • 8．

              已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}{+}\dfrac{y^{2}}{b^{2}}{=}1\left( a{ > }b{ > }0 \right)\) 的左、 右顶点分别为\(A_{1}\)，\(A_{2}\)，且以线段\(A_{1}A_{2}\) 为直径的圆与直线\({bx}{-}{ay}{+}2{ab}{=}0\) 相切，则\(C\) 的离心率为\(\left( {  } \right)\)

              A．\(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)
              B．\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
              C．\(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
              D．\(\dfrac{1}{3}\)
              难度：较易
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            • 9．

              已知直线\(x+y=a\)与圆\({x}^{2}+{y}^{2}=4 \)交于\(A\)、\(B\)两点，且\(| \overset{⇀}{OA}+ \overset{⇀}{OB}|=| \overset{⇀}{OA}- \overset{⇀}{OB}| \)，其中\(O\)为原点，则实数的值为\((\)  \()\)

              A．\(2\)           
              B．\(-2\)            
              C．\(2\)或\(-2\)    
              D．\( \sqrt{6} \)或\(- \sqrt{6} \)
              难度：中等
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            • 10．

              已知点\(P\)是直线\(y=x+2 \) 上任意一点，以点\(A\left(-1,0\right) \) 、\(B\left(1,0\right) \) 为焦点的椭圆过点\(P.\)则椭圆离心率 \(e\) 的最大值是________．

              难度：难
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