知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知以点A（m，
2
m
）（m∈R且m＞0）为圆心的圆与x轴相交于O，B两点，与y轴相交于O，C两点，其中O为坐标原点．
（1）当m=2时，求圆A的标准方程；
（2）当m变化时，△OBC的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）设直线l：2x+y-4=0与圆A相交于P，Q两点，且|OP|=|OQ|，求|PQ|的值．

难度：中等

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2．已知圆C：x²+y²+4x-4ay+4a²+1=0，直线l：ax+y+2a=0．
（1）当a=
3
2
时，直线l与圆C相较于A，B两点，求弦AB的长；
（2）若a＞0且直线l与圆C相切，求圆C关于直线l的对称圆C'的方程．

难度：中等

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3．已知圆C的圆心在直线x-2y=0上．
（1）若圆C与y轴的正半轴相切，且该圆截x轴所得弦的长为2
3
，求圆C的标准方程；
（2）在（1）的条件下，直线l：y=-2x+b与圆C交于两点A，B，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求实数b的值；
（3）已知点N（0，3），圆C的半径为3，且圆心C在第一象限，若圆C上存在点M，使MN=2MO（O为坐标原点），求圆心C的纵坐标的取值范围．

难度：较难

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4．已知长为2的线段AB中点为C，当线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上运动时，C点的轨迹为曲线C₁；
（1）求曲线C₁的方程；
（2）直线
2
ax+by=1与曲线C₁相交于C、D两点（a，b是实数），且△COD是直角三角形（O是坐标原点），求点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最小值．

难度：中等

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5．已知圆C经过点（1，-1），且圆心为C（2，0）．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）求直线l：4x+3y-13=0被圆C截得的弦长；
（Ⅲ）过点P（0，-
2
）作圆C的两条切线，切点分别是A，B，求直线AB的方程．

难度：较难

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6．在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心为C（3，1），且直线x=6与圆C相切．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线x-y=0与圆C交于A，B两点，求弦长|AB|的值．

难度：中等

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7．在平面直角坐标系中，圆O：x²+y²=4与x轴的正半轴交于点A，以A为圆心的圆A：（x-2）²+y²=r²（r＞0）与圆O交于B，C两点．
（1）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当线段DE长最小时，求直线l的方程；
（2）设P是圆O上异于B，C的任意一点，直线PB、PC分别与x轴交于点M和N，问OM•ON是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

难度：较难

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8．已知圆的半径为
10
，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为4
2
．
（1）求圆的方程．
（2）对于（1）中圆心在第一象限的圆C，从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

难度：中等

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9．已知圆C经过点A（-2，0），B（0，2）且圆心C在直线y=x上，又直线L：y=kx+2与圆C相交于P、Q两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若∠POQ=120°，求直线L的方程．

难度：中等

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10．已知圆C的圆心为（3，0），且经过点A（4，1），直线l：y=x．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C₁与圆C关于直线l对称，点B、D分别为圆C、C₁上任意一点，求|BD|的最小值；
（3）已知直线l上一点P在第一象限，两质点M、N同时从原点出发，点M以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，点N以每秒2
2
个单位沿射线OP方向运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时直线MN与圆C相切？

难度：较难

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