知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•丰台区二模）已知椭圆w：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（0，
2
），椭圆w上任意一点到两焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆w的方程；
（Ⅱ）如图，设直线l：y=kx（k≠0）与椭圆w交于P，A两点，过点P（x₀，y₀）作PC⊥x轴，垂足为点C，直线AC交椭圆w于另一点B．
①用直线l的斜率k表示直线AC的斜率；
②写出∠APB的大小，并证明你的结论．

难度：中等

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2．（2016•蚌埠三模）已知F₁，F₂分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆的右焦点F₂的直线在y轴右侧交椭圆于C，D两点．△F₁CD的周长为8，且直线AC，BC的斜率之积为-
1
4
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设四边形ABCD的面积为S，求S的取值范围．

难度：中等

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3．已知圆M：x2+y2-2
3
x=0的圆心是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆M相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上有两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），OA、OB斜率之积为-
1
4
，求
x
2
1
+
x
2
2
的值．

难度：中等

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4．如图：A，B，C是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，原点O到直线CF的距离为
1
2
c，且椭圆过点(2
3
，1)．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k₁，问是否存在实数λ，使得λk1=k+
1
2
成立，若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为
1
2
，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F₁，F₂构成的三角形中面积的最大值为
3
．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF₂与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求
PA
•
F2C
的取值范围．

难度：较难

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6．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于
3
2
，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4
5
，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且
AP
=λ
PB
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若
AP
=3
PB
，求m²的取值范围．

难度：中等

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7．（2016•扬州一模）如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，P是椭圆上一点，M在PF₁上，且满足
F1M
=λ
MP
（λ∈R），PO⊥F₂M，O为坐标原点．
（1）若椭圆方程为
x2
8
+
y2
4
=1，且P（2，
2
），求点M的横坐标；
（2）若λ=2，求椭圆离心率e的取值范围．

难度：中等

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8．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l过椭圆的左顶点A，且与椭圆相交于另一点B．
（i）若|AB|=
4
2
5
，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且
QA
•
QB
=4，求y₀的值．

难度：较难

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9．求椭圆
x2
64
+
y2
36
=1的长轴长、短轴长、顶点坐标、离心率．

难度：中等

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10．已知椭圆的焦距为6，离心率e=
3
5
，求椭圆的标准方程．

难度：较难

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