知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x²+y²=1上．
（Ⅰ）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C₁于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，求证：λ₁+λ₂为定值．
（Ⅲ）直线l交椭圆C₂于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，
OP
•
OQ
+
OP′
•
OQ′
+1=0，若点S满足：
OS
=
OP
+
OQ
，证明：点S在椭圆C₂上．

难度：较难

解析收藏试题篮
2．已知抛物线y²=2px的焦点F与双曲线
x2
7
-
y2
9
=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|=
2
|AF|，则△AFK的面积为．

难度：中等

解析收藏试题篮
3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1与双曲线
x2
4-v
+
y2
1-v
=1(1＜v＜4)有公共焦点，过椭圆C的右顶点B任意作直线l，设直线l交抛物线y²=2x于P、Q两点，且OP⊥OQ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在椭圆C上，是否存在点R（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点M、N，且△OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的△OMN的面积；若不存在，请说明理由．

难度：较难

解析收藏试题篮
4．设椭圆C₁：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C₂：x²=4
3
y的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=
1
2
，过椭圆右焦点F₂的直线与椭圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线，使得
OM
•
ON
=-2，若存在求出直线的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

解析收藏试题篮
5．过抛物线y=x²上异于原点的任意两点A、B所作的两条切线交于点P，且交x轴于M、N（如图），F为抛物线的焦点．
（Ⅰ）求点P的坐标（用A、B的横坐标x₁和x₂表示）；
（Ⅱ）求证：|FP|²=|FA|•|FB|；
（Ⅲ）设S_△OAB=λS_△PMN，试求λ的值．

难度：较难

解析收藏试题篮
6．已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，Q为右支上一点，F为右焦点，O为坐标原点，△OFQ的面积为2
6
，
OF
•
FQ
=m．
（1）设
6
≤m≤4
6
，求∠OFQ正切值的取值范围；
（2）若|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，求当 |
OQ
|取得最小值时，求此双曲线的方程．

难度：较难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷