如图，在四棱锥\(P-ABCD \)中，\(PA⊥ \)底面\(ABCD\)，\(AD⊥AB \)，\(AB/\!/DC,AD=DC=AP=2,AB=1 \)，点\(E\)为棱\(PC\)的中点．

\(19.\)如图，在直角梯形\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)中，\(\angle {{A}_{1}}AB=90{}^\circ \)，\({{A}_{1}}{{B}_{1}}/\!/AB\)，\({{A}_{1}}{{B}_{1}}=1\)，\(AB=A{{A}_{1}}=2.\)直角梯形\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\)通过直角梯形\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)以直线\(A{{A}_{1}}\)为轴旋转得到，且使得平面\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)．

\((1)\)求证：平面\(CA{{B}_{1}}\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)；

\((2)\)延长\({{B}_{1}}{{A}_{1}}\)至点\({{D}_{1}}\)，使\({{B}_{1}}{{A}_{1}}={{A}_{1}}{{D}_{1}}\)，\(E\)为平面\(ABC\)内的动点，若直线\({{D}_{1}}E\)与平面\(CA{{B}_{1}}\)所成的角为\(\alpha \)，且\(\sin \alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)，求点\(E\)到点\(B\)的距离的最小值．

如图，四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的底面\(ABCD\)是菱形，\(AC\cap BD=0\)，\(A_{1}O⊥\)底面\(ABCD\)，\(AB=2\)，\(AA_{1}=3\)．

\((1)\)证明：平面\(A_{1}CO⊥\)平面\(BB_{1}D_{1}D\)；

\((2)\)若\(∠BAD=60^{\circ}\)，求二面角\(B-OB_{1}-C\)的余弦值．

如图所示，四边形\(ABCD\)为直角梯形，\(AB/\!/CD\)，\(AB⊥BC\)，\(\triangle ABE\)为等边三角形，且平面\(ABCD⊥\)平面\(ABE\)，\(AB=2CD=2BC=2\)，

\((1)\)求证：\(AB⊥DE\)；

\((2)\)求平面\(ADE\)与平面\(BCE\)所成的锐二面角的余弦值；

如图，以点\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)为顶点的五面体中，平面\(ABFE\bot \)平面\(ABCD\)，平面\(BCF\bot \)平面\(ABCD\)，\(AB/\!/CD\)，\(AB\bot BC\)，\(CD=BC=BF=EF=\dfrac{1}{2}AB\)．

\((1)\)求证：\(EF/\!/AB\)    \((2)\)求证：\(FB\bot AD\)   \((3)\)在线段\(CE\)上是否存在一点\(M\)，使直线\(AM\)与平面\(ADE\)所成的角的正弦为\(\dfrac{\sqrt{10}}{15}\)，若存在，求出\(\dfrac{CM}{ME}\)的值，若不存在，说明理由。