知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=4，E为BC的中点，F为直线CC₁上的动点，设
C1F
=λ
FC

（1）当λ=1时，求二面角F-DE-C的余弦值；
（2）当λ为何值时，有BD₁⊥EF？

难度：中等

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2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=2
3
，∠ABC=
π
3
．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的正弦值．

难度：较易

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3．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A₁A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）若棱AA₁上存在一点P，使得，当二面角A-B₁C₁-P的大小为30时，求实数λ的值．

难度：中等

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4．如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=．
（1）求证：PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成锐二面角的余弦值．

难度：中等

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5．已知在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=．
（1）求证：EF⊥B₁C；
（2）求二面角F-EG-C₁的大小（用反三角函数表示）．

难度：中等

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6．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是
CC₁、BC的中点，点P在A₁B₁上，且满足=λ（λ∈R）．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；
（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

难度：中等

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7．如图所示，多面体ABCDS中，四边形ABCD为矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD=2，SD=
3
AD，M、N分别为AB、CD中点．
（1）求证：SM⊥AN；
（2）求二面角A-SC-D的余弦值．

难度：中等

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8．如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，
（Ⅰ）求证：DM⊥EB；
（Ⅱ）设二面角M-BD-A的平面角为β，求cosβ．

难度：中等

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9．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BD=4，PD⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PBD，二面角P-BC-D为60°．
（1）求证：BC⊥BD；
（2）求点A到平面PBC的距离．

难度：较易

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10．如图，在长方体OAEB-O₁A₁E₁B₁中，OA=3，OB=4，OO₁=2，点P在棱AA₁上，且AP=2PA₁，点S在棱BB₁上，且SB₁=2BS，点Q、R分别是O₁B₁、AE的中点，求证：PQ∥RS．

难度：中等

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