知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE；
（Ⅲ）若AB= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ CE=2，求三棱锥F-ABC的体积．

难度：较易

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2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，F为A₁B₁的中点．求证：
（1）B₁C∥平面FAC₁；
（2）平面FAC₁⊥平面ABB₁A₁．

难度：较易

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3．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，侧面PAD为直角三角形，且PA=PD，面PAD⊥面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面PBC；
（Ⅱ）求证：AP⊥面PCD．

难度：较易

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4．在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点，点P在AC上，且AP= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ AC．
（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面AOF；
（Ⅱ）求证：BP∥平面AOF．

难度：较易

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5．在三棱锥P-ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面PAC；
（2）求证：DE⊥AD．

难度：较难

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6．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°，SA⊥平面ABCD，且SA=4，M在棱SA上，且AM=1，N在棱SD上且SN=2ND．
（Ⅰ）求证：CN∥面BDM；
（Ⅱ）求直线SD与平面BDM所成的角的正弦值．

难度：较易

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2， $PC%3DPD%3D%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，E为PA中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求 $%20%5Cfrac%20%7BPM%7D%7BPC%7D$ 的值；若不存在，说明理由．

难度：较易

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8．如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA=AB=1，PB=PD=
2
，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-AC-E的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面ACE．

难度：中等

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9．在四棱锥P-OABC中，PO⊥底面OABC，∠OCB=60°，∠AOC=∠ABC=90°，且OP=OC=BC=2．
（1）若D是PC的中点，求证：BD∥平面AOP；
（2）求二面角P-AB-O的余弦值．

难度：中等

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10．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD上的动点．
（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁-EF-A的余弦值以及BA₁与面C₁EF所成的角的大小．

难度：较易

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