知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，有下面结论：

$①AC/\!/$平面$CB_{1}D_{1}$；$②AC_{1}⊥$平面$CB_{1}D_{1}$；$③AC_{1}$与底面$ABCD$所成角的正切值为$\dfrac{\sqrt{{2}}}{{2}}$；$④AD_{1}$与$BD$为异面直线．

其中正确结论的序号是________．

难度：较易

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2．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是 ______ （写出所以正确结论的序号）
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PAE；
③BC∥平面PAE；
④直线PD与直线BC所成的角为45°．

难度：较易

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3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

难度：较易

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4．已知直线l⊥平面α，垂足为O，三角形ABC的三边分别为BC=1，AC=2，AB= $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ．若A∈l，C∈α，则BO的最大值为 ______ ．

难度：较易

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5．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

难度：较易

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6．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D是A₁C₁的中点，点F在线段AA₁上，当AF= ______ 时，CF⊥平面B₁DF．

难度：中等

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7．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β．要使m⊥β，则所满足的条件是 ______ ．（填所选条件的序号）

难度：较易

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8．如图，菱形ABCD与矩形BDEF所在平面互相垂直，∠BAD= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ．
（Ⅰ）求证：FC∥平面AED；
（Ⅱ）若BF=k•BD，当二面角A-EF-C为直二面角时，求k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．

难度：较易

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9．如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，且SE=2EB．
（1）证明：DE⊥平面SBC；
（2）证明：求二面角A-DE-C的大小．

难度：较易

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10．已知l∥α，且l的方向向量为（2，-8，1），平面α的法向量为（1，y，2），则y= ．

难度：中等

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