知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设动点\(P\)在棱长为\(1\)的正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的对角线\(BD_{1}\)上，记\( \dfrac {D_{1}P}{D_{1}B}=λ.\)当\(∠APC\)为钝角时，则\(λ\)的取值范围是 ______ ．

难度：中等

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2．
如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(AC⊥AD\)，\(PA=AD=2\)，\(AC=1\)．
\((\)Ⅰ\()\)证明\(PC⊥AD\)；
\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A-PC-D\)的正弦值．

难度：较易

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3．
已知空间三点\(A(1,1,1)\)、\(B(-1,0,4)\)、\(C(2,-2,3)\)，则\( \overrightarrow{AB}\)与\( \overrightarrow{CA}\)的夹角\(θ\)的大小是 ______ ．

难度：较易

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4．
如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PD⊥\)底面\(ABCD\)，\(AB/\!/DC\)，\(AD⊥DC\)，\(AB=AD=1\)，\(DC=2\)，\(PD= \sqrt {2}\)，\(M\)为棱\(PB\)的中点．
\((\)Ⅰ\()\)证明：\(DM⊥\)平面\(PBC\)；
\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A-DM-C\)的余弦值．

难度：难

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5．

平面\(α\)的一个法向量\( \overrightarrow{n}=(1,-1,0)\)，则\(y\)轴与平面\(α\)所成的角的大小为\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {π}{6}\)

B．\( \dfrac {π}{4}\)

C．\( \dfrac {π}{3}\)

D．\( \dfrac {3π}{4}\)

难度：较难

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6．
如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为直角梯形，\(AD/\!/BC\)，\(∠ADC=90^{\circ}\)，平面\(PAD⊥\)底面\(ABCD\)，\(Q\)为\(AD\)的中点，\(PA=PD=2\)，\(BC= \dfrac {1}{2}AD=1\)，\(CD= \sqrt {3}\)．
\((1)\)求证：平面\(PQB⊥\)平面\(PAD\)；
\((2)\)在棱\(PC\)上是否存在一点\(M\)，使二面角\(M-BQ-C\)为\(30^{\circ}\)，若存在，确定\(M\)的位置，若不存在，请说明理由．

难度：较易

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7．
如图：在空间四边形\(ABCD\)中，已知\(AB⊥BC\)，\(AB⊥BD\)，\(BC⊥CD\)且\(AB=BC=6\)，\(BD=8\)，\(E\)为\(AD\)中点，求异面直线\(BE\)与\(CD\)所成角．

难度：难

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8．
如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥AD\)，\(AB/\!/CD\)，\(CD⊥AD\)，\(AD=CD=2AB=2\)，\(E\)，\(F\)分别为\(PC\)，\(CD\)的中点，\(DE=EC\)．
\((1)\)求证：平面\(ABE⊥\)平面\(BEF\)；
\((2)\)设\(PA=a\)，若平面\(EBD\)与平面\(ABCD\)所成锐二面角\(θ∈[ \dfrac {π}{4}, \dfrac {π}{3}]\)，求\(a\)的取值范围．

难度：较易

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9．
如图，已知三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的侧棱与底面垂直，\(AA_{1}=AB=AC=1\)，\(AB⊥AC\)，\(M\)是\(CC_{1}\)的中点，\(N\)是\(BC\)的中点，点\(P\)在直线\(A_{1}B_{1}\)上，且满足\( \overrightarrow{A_{1}P}=λ \overrightarrow{A_{1}B_{1}}\)．
\((1)\)当\(λ\)取何值时，直线\(PN\)与平面\(ABC\)所成的角\(θ\)最大？
\((2)\)若平面\(PMN\)与平面\(ABC\)所成的二面角为\(45^{\circ}\)，试确定点\(P\)的位置．

难度：较易

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10．
如图，\(PA⊥\)平面\(ABC\)，\(AC⊥BC\)，\(PA=AC=1\)，\(BC= \sqrt {2}\)，则二面角\(A-PB-C\)的余弦值大小为 ______ ．

难度：中等

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