知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=
3
，E，F分别为AB、SB的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求锐二面角F-CE-B的余弦值；
（Ⅲ）求B点到平面CEF的距离．

难度：中等

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2．如图，在体积为1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA₁=1，P为线段AB上的动点．
（1）求证：CA₁⊥C₁P；
（2）当AP为何值时，二面角C₁-PB₁-A₁的大小为
π
6
？

难度：中等

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3．如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=
5
，AB=AD=
2
．将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图2）
（1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

难度：中等

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4．如图，△BCD中，AB=BC=1，∠ACB=120°，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO=
6
2
．
（I）求证：BO∥平面PAC；
（II）若点M为PC上，且PC⊥平面AMB，求二面角A-BM-O的正弦值．

难度：中等

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5．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°角，AA₁=2，底面ABC是边长为2的三角形，G为三角形ABC内一点，E是线段BC₁上一点，且
BE
=
1
3
BC1
，
GE
=
1
3
AB1
．
（1）请判断点G在三角形ABC内的位置；
（2）求平面B₁GE与底面ABC所成锐角二面角的大小．

难度：中等

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6．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2a，AA1=t•a（t＞0，t∈R），∠BAC=120°，
（1）若在BC上存在点D，使DA₁⊥平面AB₁C₁，求实数t的值，并判断D点的位置；
（2）在（1）成立的条件下，求二面角D-AC₁-B₁大小的余弦值．

难度：中等

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7．如图，已知△AOB，∠AOB=
π
2
，∠BAO=θ，AB=4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B-AO-C的大小为
π
2
．
（Ⅰ）当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
（Ⅱ）当
π
2
∈[
2π
3
，θ]时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围．

难度：中等

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8．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A₁A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）若棱AA₁上存在一点P，使得
AP
=λ
PA1
，当二面角A-B₁C₁-P的大小为30⁰时，求实数λ的值．

难度：中等

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9．如图所示，已知ABCD是正方形，边长为2，PD⊥平面ABCD．
（1）若PD=2，①求异面直线PC与BD所成的角，②求二面角D-PB-C的余弦值；
③在PB上是否存在E点，使PC⊥平面ADE，若存在，确定点E位置，若不存在说明理由；
（2）若PD=m，记二面角D-PB-C的大小为θ，若θ＜60°，求m的取值范围．

难度：中等

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10．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）设PC=
2
BC．E为PB的中点，求二面角A-ED-B的大小．

难度：中等

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