知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A₁O⊥底面ABCD，AB=AA₁=2．
（I）证明：平面A₁CO⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B-OB₁-C的余弦值．

难度：较难

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2．（2016春•赣州校级月考）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（I）求证：平面ABB₁A⊥平面ABC；
（Ⅱ）在线段CC₁（不含端点）上，是否存在点E，便得二面角E-B₁D-B的余弦值为-
7
14
？若存在，求出
|CE|
|CC1|
的值，若不存在，说明理由．

难度：较难

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3．如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（Ⅰ）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，AA₁=λAC，二面角C-A₁D-C₁的余弦值为
2
4
，求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

难度：较难

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4．（2015秋•淄博校级期末）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=
1
2
CD=2，点M是线段EC的中点．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（3）求平面BDM与平面ABF所成的角（锐角）的余弦值．

难度：中等

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5．（2015秋•新余期末）如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD=
1
2
AC=2，∠ACB=∠ACD=
π
3

（1）证明：AP⊥BD．
（2）若AP=
7
，且三棱锥B-APC的体积为2时，求二面角A-BP-C的余弦值．

难度：中等

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6．（2015秋•绍兴校级期中）如图，弧
AEC
是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧
AC
的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=
5
a，FE=
6
a．
（Ⅰ）证明：EB⊥FD；
（Ⅱ）已知点Q，R分别为线段FE，FB上的点，使得
FQ
=λ
FE
，
FR
=λ
FB
，求当RD最短时，平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．

难度：中等

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7．如图，三棱锥C-ABD的棱AB在平面α内，棱CD在平面α外，平面CAB⊥平面α，点D在平面α内的射影为E，且满足EA⊥EB，AC=BC=EA=EB=2，DE=2
2
．
（1）求证：AE∥平面BCD；
（2）求二面角E-CD-B的正弦值．

难度：中等

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8．如图所示，多面体A₁B₁D₁DCBA是长方体A₁B₁C₁D-ABCD被平面B₁CD₁截去一个三棱锥后所得的几何体，M为B₁D₁的中点，过A₁、D、M的平面交CD₁于点N．
（1）证明：MN∥B₁C；
（2）若AB=AD=2，AA₁=4，求二面角A-MN-B的余弦值．

难度：中等

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9．在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求异面直线PA，BC所成角；
（2）设Q为棱PC上一点，
PQ
=λ
PC
，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为60°．

难度：中等

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10．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，AD=2AB=2AA′=2．
（1）求证：A′B⊥平面ADC′；
（2）求二面角D′-AC-D的正切值．

难度：中等

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