知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=
3
，E，F分别为AB、SB的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求锐二面角F-CE-B的余弦值；
（Ⅲ）求B点到平面CEF的距离．

难度：中等

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2．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP．
（1）证明：AC⊥DE；
（2）若PC=
2
BC，求二面角E-AC-P的余弦值．

难度：中等

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3．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是等边三角形，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=2BC=2
2
．
（1）若AB⊥PB，求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）在（1）的条件下，求二面角P-AB-D的大小．

难度：中等

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4．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=
π
3
，PD=2k (k＞0)，E为AB中点．
（Ⅰ）求证：ED⊥平面PDC；
（Ⅱ）当二面角P-EC-D的大小为
π
6
时，求k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求直线EC与平面PAB所成的角θ的正弦值．

难度：中等

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5．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA1=
3
，AD=2
2
，P为C₁D₁的中点，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求AD与平面AMP所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-AM-D的大小．

难度：中等

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6．如图，几何体ABCD-B₁C₁D₁中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，平面B₁C₁D₁∥平面ABCD，BB₁、CC₁、DD₁都垂直于平面ABCD，且BB₁=
2
a，E为CC₁的中点，F为AB的中点．
（I）求证：△DB₁E为等腰直角三角形；
（Ⅱ）求平面B₁DE与平面FDE所成的锐二面角．

难度：中等

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD=4AP，∠BAD=∠PAD=60°，E，F分别是AP，AD的中点．
（1）求证：平面BEF⊥平面PAD；
（2）求二面角P-BE-F的正切值．

难度：中等

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8．在棱长为1的ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，BC的中点，H在棱DD₁上．
（1）当H是DD₁的中点时，求二面角H-A₁C₁-E的余弦值；
（2）若直线A₁H与平面A₁C₁FE所成的角的正弦值为
3
17
17
，求DH的长．

难度：中等

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9．如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求直线DD₁与平面AB₁C所成角的正弦值；
（2）求平面AB₁C与平面AB₁D₁所成角的余弦值．

难度：中等

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10．如图所示，AD∥BC∥EF，平面ADFE⊥平面BCFE，AE⊥EF，BE⊥EF，AD=AE=BE=2，EF=3，BC=4，G为BC的中点．
（1）求证：BD⊥EG；
（2）求二面角D-BF-C的余弦值．

难度：中等

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