知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）设PD=AD=1，求直线PC与平面ABCD所成角的正切值．

难度：中等

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2．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=2，AD=4，PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD成30°角，E是PD的中点．
（1）点H在AC上且EH⊥AC，求
EH
的坐标；
（2）求AE与平面PCD所成角的余弦值．

难度：中等

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3．（2015秋•重庆校级期中）如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥面ADC₁；
（2）求直线B₁C₁与平面ADC₁所成角的余弦值．

难度：中等

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4．已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求直线AC与平面CBE所成角正弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小．

难度：较难

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5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°．侧面PAD是一等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，G是AD的中点．
（1）求证：BG⊥平面PAD；
（2）取AB、PC的中点M、N，求证：MN∥平面PAD；
（3）求二面角A-BC-P的大小．

难度：中等

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6．等边三角形ABC的边长为3，点D，、E分别是边AB、AC上的点，且满足
AD
DB
=
CE
EA
=
1
2
．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，连接A₁B、A₁C．

（1）求证：A₁D⊥平面BCED；
（2）求A₁E与平面A₁BC所成角的正弦值．
（3）在线段BC上是否存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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7．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=
2
，PA=PD=
5
，AD=2，BD=
3
．E、F分别是棱AD，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAB；
（2）求二面角P-AD-B的大小；
（3）证明BE⊥平面PBC．

难度：较难

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8．如图，在梯形PDCB中，BC=PD，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=
2
，DA⊥PB，将△PAD沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱锥P-ABCD，点M在棱PB上．

（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）如果AM⊥PB，求二面角C-AM-B的正切值；
（Ⅲ）当PD∥平面AMC时，求三棱锥P-ABC与三棱锥M-ABC的体积之比．

难度：较难

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9．如图，在棱长为a的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）作出面A₁BC₁与面ABCD的交线l，判断l与直线A₁C₁位置关系，并给出证明；
（2）证明B₁D⊥面A₁BC₁；
（3）求直线AC到面A₁BC₁的距离；
（4）若以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出C，C₁两点的坐标．

难度：中等

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