知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=
1
2
AD=2，∠A=60°，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点．将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，使得平面A₁BE⊥平面BCDE（如图2）．
（Ⅰ）求证：A₁O⊥CE；
（Ⅱ）求直线A₁B与平面A₁CE所成角的正弦值；
（Ⅲ）侧棱A₁C上是否存在点P，使得BP∥平面A₁OF？若存在，求出
A1P
A1C
的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．（2016•广元二模）如图，三棱锥P-ABC中，PA=PC，AB=BC，E，F分别是PA，AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：EF⊥AC．

难度：中等

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3．（2015秋•北京校级期中）如图，在四棱锥S-ABCD中，所有侧棱长与底面边长均相等，E为SC的中点．求证：
（Ⅰ） SA∥平面BDE；
（Ⅱ） SC⊥BD．

难度：中等

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4．在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE．

难度：较易

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5．（2015秋•北京校级期中）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD．E，F分别为底边AB和侧棱PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：EF⊥FD．

难度：中等

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6．如图，设正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是AD和CC₁的中点．
（1）求证：A₁E⊥BF；
（2）求异面直线A₁E与CD₁所成角的余弦值．

难度：中等

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7．如果在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点，求证：BG⊥PA．

难度：中等

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8．已知空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是BD的中点，求证：BD⊥AC．

难度：较易

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9．如图所示，已知在五棱锥P-ABCDE底面ABCDE为凸五边形，AE=DC=2，AB=BC=3，DE=1，∠EAB=∠BCD=∠CDE=∠DEA=120°，F为AE上的点，且AF=
3
2
，平面PAE与底面ABCDE垂直．
求证：（1）BC∥平面PAE；（2）PA⊥FC．

难度：中等

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10．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，E为CD上任意一点．
（1）求证：B₁E⊥AD₁；
（2）若E为CD的中点，P是AA₁的中点，求证DP∥平面B₁AE．

难度：中等

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