知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•鞍山一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB是直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E、F分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）若V_C-BEF=1，求PA的长．

难度：中等

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2．（2016•蚌埠二模）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABFE是平行四边形，DF∥BC，BC=BF=2DF=2
2
，∠BAC=90°，AB=AC，点E在底面ABC的射影为BC的中点O．
（1）证明：ED⊥平面EBC；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

难度：中等

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3．（2016•潮州二模）如图，三棱锥O-ABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC=
2
，△ABC为
等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且OM=
1
3
MP，PA=PB．
（1）证明：AB⊥平面POC；
（2）求三棱锥A-PBC的体积．

难度：中等

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4．如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（Ⅰ）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，AA₁=λAC，二面角C-A₁D-C₁的余弦值为
2
4
，求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

难度：较难

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5．（2016春•云南校级月考）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，BC=1，CC₁=2，BC₁=
3
．
（1）求证：BC₁⊥平面ABC；
（2）当二面角A-CC₁-B为
π
3
时，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

难度：中等

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6．如图所示的多面体EF-ABCD中，AF⊥底面ABCD，AF∥CE，四边形ABCD为正方形，AF=2AB=2CE．
（1）求证：EF⊥平面BED；
（2）当三棱锥E-BDF的体积为4时，求多面体EF-ABCD的表面积．

难度：中等

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7．如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB．已知BC=2AD=2AB=2．
（I）证明：BD⊥平面DEC；
（Ⅱ）若EC=1，求AD与面BED所成角的正弦值．

难度：中等

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8．如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，∠DAB=60°，AA₁⊥面ABCD，且AD=AA₁=1，F为棱AA₁的中点，M为线段BD₁的中点．
（1）求证：FM⊥平面BDD₁B₁；
（2）求三棱锥D₁-BDF的体积．

难度：中等

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9．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．
（1）求证：AF⊥面EDP；
（2）设异面直线EM与AF所成的角为θ，求cosθ的最大值．

难度：中等

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10．如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB、SAC均为边长为
2
等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

难度：中等

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