知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，已知圆O的两弦AB和CD相交于点E，FG是圆O的切线，G为切点，EF=FG．
求证：（Ⅰ）∠DEF=∠EAD；
（Ⅱ）EF∥CB．

难度：较难

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2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作圆O与斜边AB交于N，过点O作OM∥AC，交BC于M，交圆O于Q．
（Ⅰ）求证：MN是圆O的切线；
（Ⅱ）求证：MN•BC=MQ•AC+MQ•AB．

难度：较难

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3．如图，AP是圆O的切线，A是切点，AD⊥OP与D点，过点P作圆O的割线与圆O相交于B，C两点
（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆．
（Ⅱ）设∠OPC=30°，∠ODC=40°，求∠DBC的大小．

难度：较难

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4．如图，设C为线段AB的中点，BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与AB及其延长线相交于点H及K．
（Ⅰ）求证：HC•CK=BC²；
（Ⅱ）若圆的半径等于2，求AH•AK的值．

难度：中等

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5．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（坐标系与参数方程）直线3x-4y-1=0被曲线
x=2cosθ
y=1+2sinθ
（θ为参数）所截得的弦长为    ．
B．（不等式选讲）若关于x不等式|x-1|+|x-m|＜2m的解集为∅，则实数m的取值范围为    ．
C．（几何证明选讲）若Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于D，且AD=1，BD=2，则S_△ABC=    ．

难度：较难

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6．如图，在三棱柱ABC-中，已知CC₁=BB₁=2，BC=1，∠BCC1=
π
3
，AB⊥侧面BB₁C₁C，
（1）求直线C₁B与底面ABC所成角正切值；
（2）在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（3）在（2）的条件下，若AB=
2
，求二面角A-EB₁-A₁的大小．

难度：中等

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7．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，△ABC为边长为2的正三角形，点P在A₁B上，且AB⊥CP．
（1）证明：P为A₁B中点．
（2）若A₁B⊥AC₁，求二面角B₁-PC-B的余弦值．

难度：中等

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8．已知抛物线x²=8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且
AF
=λ
FB
(λ＞0)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M
（1）证明线段FM被x轴平分；
（2）计算
FM
•
AB
的值；
（3）求证|FM|²=|FA|•|FB|．

难度：中等

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