知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
\([\)选修\(4-2\)：矩阵与变换\(]\)

已知矩阵\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\)，设曲线\(C\)：\({{(x-y)}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)在矩阵\(A\)对应的变换下得到曲线\(C′\)，求\(C′\)的方程．

难度：易

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2．
\([\)选做题\(]\)

A.选修\(4—1\)：几何证明选讲

如图所示，在\(⊙O\)中，相交于点\(E\)的两弦\(AB\)，\(CD\)的中点分别为\(F\)，\(G\)，直线\(OF\)与直线\(CD\)相交于点\(P\)．

求证：\(\dfrac{PE}{PF}=\dfrac{PO}{PG}\)．

B.选修\(4—2\)：矩阵与变换

已知矩阵\(M=\left[ \begin{matrix} x\ \ 4 \\ 2\ \ -1 \\\end{matrix} \right]\)的一个特征值为\(3\)，求\(M^{2}\)．

C.选修\(4—4\)：坐标系与参数方程

若直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=1+\dfrac{1}{2}t, \\ & y=2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}t \\ \end{cases}(t\)为参数\()\)，曲线\(C\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=1+2\cos \alpha , \\ & y=-2+2\sin \alpha \\ \end{cases}(α\)为参数\()\)，试判断直线\(l\)与曲线\(C\)的位置关系．

D.选修\(4—5\)：不等式选讲

求函数\(f(x)=5\sqrt{x}+\sqrt{12-3x}\)的最大值．

难度：中等

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3．
曲线\(C\)在矩阵\(M\)\(=\left[\begin{matrix}10 \\ 02\end{matrix}\right]\)对应的变换作用下得到曲线\(C_{1}\)，\(C_{1}\)在矩阵\(N\)\(=\left[\begin{matrix}0-1 \\ 10\end{matrix}\right]\)对应的变换作用下得到曲线\(C_{2}.\)若曲线\(C_{2}\)的方程为\(y= \dfrac{1}{8}x^{2}\)，试求曲线\(C\)的方程．

难度：易

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4．选修\(4-2\)：矩阵与变换：
已知曲线\(C\)：\(x^{2}+y^{2}=1\)，对它先作矩阵\(A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\)对应的变换，再作矩阵\(B= \begin{bmatrix} 0 & b \\ 1 & 0\end{bmatrix}\)对应的变换，得到曲线\(C： \dfrac {x^{2}}{4}+y^{2}=1.\)求实数\(b\)的值．

难度：较易

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5．
已知矩阵\(A= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ a & 1\end{bmatrix}\)，其中\(a∈R\)，若点\(P(1,1)\)在矩阵\(A\)的变换下得到点\(P′(0,-3)\)，
\((1)\)求实数\(a\)的值；
\((2)\)求矩阵\(A\)的特征值及特征向量．

难度：中等

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6．
已知曲线，对它先作矩阵对应的变换，再作矩阵对应的变换，得到曲线，求实数 \(m\) 的值．

难度：易

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