知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在同一坐标系中，将曲线4x²+9y²=36变为曲线x′²+y′²=1的伸缩变换是．

难度：中等

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2．设A是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换所对应的变换矩阵；B是将点（2，0）变为点（
3
，1）的旋转变换所对应的变换矩阵；若M=AB；求矩阵M及M^-1．

难度：较难

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3．在平面直角坐标系xoy中，曲线C：
1
4
x2+x+y2-2y=-1，按伸缩变换ϕ：
x′=x+2
y′=y-1
得曲线C₁；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知射线θ=
π
3
与曲线C₂交于点D(1，
π
3
)．
（I）求曲线C₁，C₂的方程；
（II）若点A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+
π
2
)在曲线C₁上，求
1
ρ12
+
1
ρ22
的值．

难度：较难

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4．在平面直角坐标系中，
（1）求曲线y²=2x经过伸缩变换ϕ：
x′=3x
y′=-2y
后得到的曲线的方程；
（2）曲线C经过伸缩变换ϕ：
x′=3x
y′=y
后得到的曲线的方程为x^'2+9y^'2=9，求曲线C的方程．

难度：较易

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5．曲线9x²+4y²=36经过伸缩变换
x′=
1
2
x
y′=
1
3
y
后的曲线方程是．

难度：中等

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6．坐标系与参数方程选讲．
已知曲线C：
x=cosθ
y=sinθ
（θ为参数）．
（1）将C参数方程化为普通方程；
（2）若把C上各点的坐标经过伸缩变换
x′=3x
y′=2y
后得到曲线C^′，求曲线C^′上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值．

难度：较难

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7．将曲线
x=cosθ
y=sinθ
(θ∈R)，上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的
1
2
倍后，得到的曲线的焦点坐标为．

难度：中等

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8．圆C：x²+y²=1经过伸缩变换
x′=ax
y′=by
（其中a，b∈R，0＜a＜2，0＜b＜2，a、b的取值都是随机的．）得到曲线C′，则在已知曲线C′是焦点在x轴上的椭圆的情形下，C′的离心率e＞
3
2
的概率等于．

难度：较难

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9．曲线x²+4y²=16向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数k=2，则变换后的曲线方程为．

难度：中等

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10．（1）在伸缩变换
x′=2x
y′=
3
y
下圆x²+y²=1变为曲线C．求曲线C的方程，并指出曲线的类型；当曲线C的动点M到直线L：
3
ρcosθ+2ρsinθ+5
6
=0距离的最大值时，求点M的坐标．
（2）设函数f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0）．
①作出函数f（x）的图象；
②若不等式f（x）≥5的解集为（-∞，-2]∪[3，+∞），求a值．

难度：较难

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