知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵 $M%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%26%20a%20%5C%5C%20b%20%26%201%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，其中a，b均为实数，若点A（3，-1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．

难度：较易

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2．已知变换T将平面上的点 $%281%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29%EF%BC%8C%280%EF%BC%8C1%29$ 分别变换为点 $%28%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B4%7D%EF%BC%8C-2%29%EF%BC%8C%28-%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D%EF%BC%8C4%29$ ．设变换T对应的矩阵为M．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的特征值．

难度：易

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3．已知矩阵A= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a%20%26%201%20%5C%5C%20b%20%26%200%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，其中a，b∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点Q（3，3），向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B2%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%205%20%5C%5C%209%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ．
（1）求a，b的值及矩阵A的特征值、特征向量；
（2）计算A²⁰ $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B2%7D$ ．

难度：较易

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4．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及其对应的一个特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Coverset%7B1%7D%7B1%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，并且矩阵M对应的变换将点A（-1，2）变换成A′（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）设直线l在M^-1对应的变换作用下得到了直线m：x-y=6，求l的方程．

难度：易

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5．已知矩阵A=
a 2
1 b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1

①求矩阵A；
②已知矩阵B=
1 -1
0 1
，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O′M′N′的面积．

难度：较难

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6．已知矩阵M=
1 2
2 1

（1）求M的逆矩阵M^-1；
（2）求直线l：x=1经M对应的变换T_M变换后的直线l′的方程；
（3）判断
α
=
-1
1
是否为M的特征向量．

难度：中等

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7．已知直线l：ax+y=1在矩阵A=
1 2
0 1
对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1．
（1）求实数a，b的值；
（2）求矩阵A的特征值与特征向量．

难度：较易

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8．已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°．
（1）求矩阵A及A的逆矩阵B；
（2）已知矩阵M=
3 3
2 4
，求M的特征值和特征向量；
（3）若α=
1
8
在矩阵B的作用下变换为β，求M⁵⁰β（运算结果用指数式表示）．

难度：中等

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9．已知二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量
a1
=
1
1
，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量
a2
=
1
-1
，求矩阵A的逆矩阵A^-1．

难度：中等

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10．已知矩阵A=
3 3
c d
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
1
1
，属于特征值1的一个特征向量为α2=
3
-2
．
（1）求矩阵A；
（2）求出直线x+y-1=0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程．

难度：较易

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