知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵$M= \begin{bmatrix} a & amp;2 \\ 4 & amp;b\end{bmatrix}$的属于特征值$8$的一个特征向量是$e= \begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix}$，点$P(-1,2)$在$M$对应的变换作用下得到点$Q$，求$Q$的坐标．

难度：易

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2．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Coverset%7B1%7D%7B1%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，并且矩阵M将点（-1，3）变换为（0，8）．求矩阵M．

难度：较易

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3．设矩阵M= $%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%20m%20%26%202%20%5C%5C%202%20%26%20-3%5Cend%7Bvmatrix%7D%20$ 的一个特征值λ对应的特征向量为 $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%5C%5C%20-2%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，求m与λ的值．

难度：易

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4．已知矩阵M= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a%20%26%20amp%3B2%20%5C%5C%204%20%26%20amp%3Bb%5Cend%7Bbmatrix%7D$ 的属于特征值8的一个特征向量是e= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%5C%5C%201%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，点P（-1，2）在M对应的变换作用下得到点Q，求Q的坐标．

难度：易

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5．已知矩阵 $A%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a%20%26%20b%20%5C%5C%20c%20%26%20d%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B1_%7B1%7D%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%5C%5C%201%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，属于特征值1的一个特征向量为 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B1_%7B2%7D%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%203%20%5C%5C%20-2%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ．求A的逆矩阵．

难度：较易

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6．已知矩阵A=
a 2
1 b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）若矩阵B=
1 -1
0 1
，求直线x+y+1=0先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程．

难度：较难

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7．已知矩阵A=[ $%20%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%20%26%20a%20%5C%5C%20-1%20%26%20b%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ]的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B1%7D$ =[ $%20%C2%A0_%7B%201%20%7D%5E%7B%202%20%7D$ ]．
（1）求矩阵A；
（2）若A[ $%20%C2%A0_%7B%20y%20%7D%5E%7B%20x%20%7D$ ]=[ $%20%C2%A0_%7B%20b%20%7D%5E%7B%20a%20%7D$ ]，求x，y的值．

难度：中等

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8．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%20%5C%5C%201%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B2%7D%7D$ 的坐标之间的关系；
（3）求直线l：2x-4y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．

难度：较易

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9． (1)已知矩阵 $A%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a%20%26%202%20%5C%5C%201%20%26%20b%5Cend%7Bbmatrix%7D$ 有一个属于特征值1的特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%5Calpha%20%7D%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%5C%5C%20-1%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，
①求矩阵A；
②已知矩阵 $B%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%20-1%20%5C%5C%200%20%26%201%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，点O(0，0)，M(2，-1)，N(0，2)，求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
(2)已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3Dt-3%20%5C%5C%20y%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρco sθ+3=0．
①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围．
(3)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f(x)≥3的解集；
②若关于x的不等式f(x)≥a²-a在R上恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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10．（1）已知矩阵M=
1 2
2 x
的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
（2）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．OE交AD于点F．
①求证：DE是⊙O的切线；②若
AC
AB
=
3
5
，求
AF
DF
的值．
（3）在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2
2
sin（θ+
π
4
），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=t
y=1+2t
（t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．

难度：较易

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