知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A=
3 3
2 4
．
（1）求矩阵A的逆矩阵A^-1；
（2）求矩阵A的特征值和特征向量；
（3）求圆x²+y²=1在经过矩阵A对应的变换后得到的曲线的方程．

难度：中等

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2．已知二阶矩阵A有特征值λ₁=1，λ₂=2，其对应的一个特征向量分别为e₁=
1
1
，e₂=
1
0
．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求圆C：x²+y²=1在矩阵A所对应的线性变换作用下得到曲线C'的方程．

难度：较难

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3．已知矩阵A=（
3
2

a
b
）的两个特征值为6和1，
（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）求矩阵A^-1．

难度：较难

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4．已知矩阵M=
1 -2
-2 1
，a=
3
1
．
（1）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（2）求矩阵M的特征值和特征向量；
（3）试计算M²⁰a；．

难度：较难

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5．已知矩阵A=
3 a
0 -1
，a∈R，若点P（2，-3）在矩阵A的变换下得到点P′（3，3）．
（1）则求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及其对应的特征向量．

难度：中等

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6．已知矩阵A=
1 2
-1 4

（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）若β=
-1
2
，求A⁵β

难度：中等

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7．已知矩阵A=
2 n
m 1
的一个特征值为λ=2，它对应的一个特征向量为
α
=
1
2
．
（1）求m与n的值；　　　　　
（2）求A^-1．

难度：较难

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8．已知矩阵
x
2
3
1
的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

难度：较难

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9．二阶矩阵M有特征值λ=8，其对应的一个特征向量
e
=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成点（-2，4），求矩阵M²．

难度：中等

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10．已知二阶矩阵A属于特征值-1的一个特征向量为
-1

3
，属于特征值7的一个特征向量为
1

1
．
①求矩阵A；
②求解方程A
x
y
=
7
14
．

难度：中等

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