知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}\)是\(1\)，\(2\)，\(…\)，\(n(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)的一个排列，求证：\( \dfrac{1}{2}+ \dfrac{2}{3}+…+ \dfrac{n-1}{n}\leqslant \dfrac{a_{1}}{a_{2}}+ \dfrac{a_{2}}{a_{3}}+…+ \dfrac{a_{n-1}}{a_{n}}\)．

难度：中等

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2．
已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(c > 0\)，函数\(f(x)=|x+a|-|x-b|+c\)的最大值为\(10\)．

\((1)\)求\(a+b+c\)的值\(;\)

\((2)\)求\(\dfrac{1}{4}(a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-3)^{2}\)的最小值，并求出此时\(a\)，\(b\)，\(c\)的值．

难度：中等

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3．设 \(a\)、 \(b\)、 \(c\)是正实数，且 \(a\)\(+\) \(b\)\(+\) \(c\)\(=9\)，求\( \dfrac{2}{a}+ \dfrac{2}{b}+ \dfrac{2}{c}\)的最小值．

难度：中等

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4．

\((1)\)如图，已知圆\(O\)的直径\(AB=4\)，\(C\)为\(AO\)的中点，弦\(DE\)过点\(C\)且满足\(CE=2CD\)，求\(\triangle OCE\)的面积．

\((2)\)已知向量\(\begin{bmatrix} 1 \\ \mathrm{{-}}1 \\ \end{bmatrix}\)是矩形\(A\)的属于特征值\(-1\)的一个特征向量\(.\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(P(1,1)\)在矩阵\(A\)对应的变换作用下变为\(P{{'}}(3,3)\)，求矩阵\(A\)．

\((3)\)在极坐标系中，求直线\(θ=\dfrac{\pi}{4}(ρ∈R)\)被曲线\(ρ=4\sin θ\)所截得的弦长\(AB\)．

\((4)\)求函数\(y=3\sin x+2\sqrt{2{+}2\cos 2x}\)的最大值．

难度：中等

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5．
附加题：\((1)\)证明柯西不等式：\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geqslant (ac+bd)^{2}\)；
\((2)\)若\(a\)，\(b∈R_{+}\)且\(a+b=1\)，用柯西不等式求\(\sqrt{3a+1}+ \sqrt{3b+1} \)的最大值．

难度：难

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6．
解答题

\((1)\)已知\(x+y+z=1\)，求证：\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\geqslant \dfrac{1}{3}\)．

\((2)\)已知\(a > 0\)，\(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a} > 1\)，求证：\(\sqrt{1+a} > \dfrac{1}{\sqrt{1-b}}\)．

难度：中等

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7．设a，b，c是正实数，求证：a^ab^bc^c≥（abc）．

难度：中等

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8．设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a³+b³+c³≥3abc．

难度：中等

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9．设a₁，a₂，…，a_n为实数，证明：≤．

难度：中等

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10．若a₁≤a₂≤…≤a_n，而b₁≥b₂≥…≥b_n或a₁≥a₂≥…≥a_n而b₁≤b₂≤…≤b_n，证明：≤（）•（）．当且仅当a₁=a₂=…=a_n或b₁=b₂=…=b_n时等号成立．

难度：中等

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