知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．用数学归纳法证明：
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
25
24
．（n=1，2，3…）

难度：较难

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2．用数学归纳法证明
1
22
+
1
32
+…+
1
(n+1)2
＞
1
2
-
1
n+2
，假设n=k时，不等式成立，则当n=k+1时，应推证的目标不等式是．

难度：中等

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3．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到
1
3
，记为f(1)=
1
3
；②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一个结果f（n-1）的
2(n-1)-1
2(n-1)+3
倍．
（Ⅰ）当从A口分别输入自然数2，3，4时，从B口分别得到什么数？
（Ⅱ）根据（Ⅰ）试猜想f（n）的关系式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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4．当n≥2，n∈N^*时，设f（n）=（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
）•…•（1-
1
n2
）．
（Ⅰ）求f（2）、f（3）、f（4）的值；
（Ⅱ）猜想f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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5．设数列{a_n}满足a1=2，an+1=
a
2
n
-nan+1，n∈N*．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）由（ 1）猜想a_n的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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6．定义数列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*，求证：
（Ⅰ）对于n∈N^*恒有a_n+1＞a_n成立；
（Ⅱ）1-
1
22015
＜
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2015
＜1．

难度：较难

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7．已知数列{a_n}满足：a₁=a，an+1=
1
2-an

（1）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想出a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

难度：中等

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8．设Sn=
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)

（1）写出S₁，S₂，S₃，S₄的值，
（2）归纳并猜想出S_n．

难度：中等

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