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          共50条信息

            • 1．
              在含有\(n\)个元素的集合\(A_{n}=\{1,2,…,n\}\)中，若这\(n\)个元素的一个排列\((a_{1},a_{2},…,a_{n})\)满足\(a_{i}\neq i(i=1,2,…,n)\)，则称这个排列为集合\(A_{n}\)的一个错位排列\((\)例如：对于集合\(A_{3}=\{1,2,3\}\)，排列\((2,3,1)\)是\(A_{3}\)的一个错位排列；排列\((1,3,2)\)不是\(A_{3}\)的一个错位排列\().\)记集合\(A_{n}\)的所有错位排列的个数为\(D_{n}\)．
              \((1)\)直接写出\(D_{1}\)，\(D_{2}\)，\(D_{3}\)，\(D_{4}\)的值；
              \((2)\)当\(n\geqslant 3\)时，试用\(D_{n-2}\)，\(D_{n-1}\)表示\(D_{n}\)，并说明理由；
              \((3)\)试用数学归纳法证明：\(D_{2n}(n∈N^{*})\)为奇数．
              难度：较易
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            • 2．
              \((1)\)用数学归纳法证明：当\(n∈N^{*}\)时，\(\cos x+\cos 2x+\cos 3x+…+\cos nx= \dfrac {\sin (n+ \dfrac {1}{2})x}{2\sin \dfrac {1}{2}x}- \dfrac {1}{2}(x∈R\)，且\(x\neq 2kπ\)，\(k∈Z)\)；
              \((2)\)求\(\sin \dfrac {π}{6}+2\sin \dfrac {2π}{6}+3\sin \dfrac {3π}{6}+4\sin \dfrac {4π}{6}+…+2018\sin \dfrac {2018π}{6}\)的值．
              难度：较易
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            • 3．
              \((1)\)已知\(a_{i} > 0,b_{i} > 0(i∈N^{*})\)，比较\( \dfrac { b_{ 1 }^{ 2 }}{a_{1}}+ \dfrac { b_{ 2 }^{ 2 }}{a_{2}}\)与\( \dfrac {(b_{1}+b_{2})^{2}}{a_{1}+a_{2}}\)的大小，试将其推广至一般性结论并证明；
              \((2)\)求证：\( \dfrac {1}{ C_{ n }^{ 0 }}+ \dfrac {3}{ C_{ n }^{ 1 }}+ \dfrac {5}{ C_{ n }^{ 2 }}+…+ \dfrac {2n+1}{ C_{ n }^{ n }}\geqslant \dfrac {(n+1)^{3}}{2^{n}}(n∈N^{*})\)．
              难度：较易
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            • 4．
              三个数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)，\(\{c_{n}\}\)，满足\(a_{1}=- \dfrac {11}{10}\)，\(b_{1}=1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {|a_{n}-1|+ \sqrt { a_{ n }^{ 2 }-2a_{n}+5}}{2}\)，\(b_{n+1}=2b_{n}+1\)，\(c_{n}=a\;_{b_{n}}\)，\(n∈N*\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：当\(n\geqslant 2\)时，\(a_{n} > 1\)；
              \((\)Ⅱ\()\)是否存在集合\([a,b]\)，使得\(c_{n}∈[a,b]\)对任意\(n∈N*\)成立，若存在，求出\(b-a\)的最小值；若不存在，请说明理由；
              \((\)Ⅲ\()\)求证：\( \dfrac {2^{2}}{c_{2}}+ \dfrac {2^{3}}{c_{3}}+…+ \dfrac {2^{n}}{c_{n}}\leqslant 2^{n+1}+c_{n+1}-6(n∈N*,n\geqslant 2)\)．
              难度：中等
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            • 5．
              \((1)\)当\(x > 1\)时，求证：\(x^{2}+ \dfrac {1}{x^{2}} > x+ \dfrac {1}{x}\)；
              \((2)\)用数学归纳法证明\( \dfrac {1}{n+1}+ \dfrac {1}{n+2}+…+ \dfrac {1}{3n}\geqslant \dfrac {5}{6}(n∈N^{*}).\)
              难度：较易
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            • 6．

              设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且方程\(x^{2}-a_{n}x-a_{n}=0\)有一根为\(S_{n}-1(n∈N^{*}).\)

              \((1)\)求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)；

              \((2)\)猜想数列\(\{S_{n}\}\)的通项公式，并给出证明．

              难度：中等
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            • 7．

              已知数列\(\{x_{n}\}\)满足\({{x}_{1}}=\dfrac{{1}}{{2}}\)，\({{x}_{n+1}}=\dfrac{{1}}{{1}+{{x}_{n}}}\)，\(n∈N^{*}\)．

              \((1)\)猜想数列\(\{x_{2n}\}\)的单调性，并证明你的结论：

              \((2)\)证明：\(|{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}|\leqslant \dfrac{1}{6}{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{n-1}}\)．

              难度：较难
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            • 8．

              一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图\(①\)，\(②\)，\(③\)，\(④\)分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为\(f(n)\)．



              \((1)\)求出\(f(2)\)，\(f(3)\)，\(f(4)\)，\(f(5)\)的值；

              \((2)\)利用归纳推理，归纳出\(f(n+1)\)与\(f(n)\)的关系式；

              \((3)\)猜想\(f(n)\)的表达式，并用数学归纳法证明．

              难度：较易
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            • 9． 已知函数\(f(x)= \dfrac {3}{2}x+\ln (x-1)\)，设数列\(\{a_{n}\}\)同时满足下列两个条件：\(①a_{n} > 0(n∈N^{*})\)；\(②a_{n+1}=f′(a_{n}+1)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)试用\(a_{n}\)表示\(a_{n+1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)记\(b_{n}=a_{2n}(n∈N^{*})\)，若数列\(\{b_{n}\}\)是递减数列，求\(a_{1}\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 10．

              已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)满足\({{a}_{1}}=1\)，且\(4{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}+2{{a}_{n}}=9\ (n\in {{N}^{*}})\)．

                  \((1)\)求\({a}_{2},{a}_{3},{a}_{4} \)的值；

                  \((2)\)由\((1)\)猜想\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式，并给出证明．

              难度：较易
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