知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知正项数列{a_n}中， $a_%7B1%7D%3D1%EF%BC%8Ca_%7Bn%2B1%7D%3D1%2B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B1%2Ba_%7Bn%7D%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ．用数学归纳法证明： $a_%7Bn%7D%EF%BC%9Ca_%7Bn%2B1%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ．

难度：较难

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2．若f（n）=1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7Bn%7D%7D$ ，n∈N，当n≥3时，证明：f（n）＞ $%20%5Csqrt%20%7Bn%2B1%7D$ ．

难度：较易

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3．由下列式子　 $1%EF%BC%9E%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$
$1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%EF%BC%9E1$
$1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B5%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B6%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B7%7D%EF%BC%9E%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$
$1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B15%7D%EF%BC%9E2$
…
猜想第n个表达式，并用数学归纳法给予证明．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}满足a1=3，
2-2an+1
an+1-3
=an(n∈N*)，记bn=
an-2
an+1
．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）若（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）记cn=
3
an+1
，求证：c1•c2•c3…cn＞
7
12
．

难度：较难

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5．设0＜a＜1，f(logax)=
a(x2-1)
(a2-1)x
，
（Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）；
（Ⅱ）解关于x的不等式：f（a^x）+f（-2）＞f（2）+f（-a^x）
（Ⅲ）（理）当n∈N时，比较f（n）与n的大小．
（文）若f（x）-4的值仅在x＜2时取负数，求a的取值范围．

难度：较难

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6．试比较3ⁿ与（n+1）²（n∈N^*）的大小，并证明．

难度：中等

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7．设n∈N^*，f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，试比较f（n）与
n+1
的大小．

难度：中等

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