知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是长方形，$2AD=CD=PD=2$，$PA= \sqrt {5}$，二面角$P-AD-C$为$120^{\circ}$，点$E$为线段$PC$的中点，点$F$在线段$AB$上，且$AF= \dfrac {1}{2}$．
$($Ⅰ$)$平面$PCD⊥$平面$ABCD$；
$($Ⅱ$)$求棱锥$C-DEF$的高．

难度：较易

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2．
如图，四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$为矩形，点$E$在线段$PA$上，$PC/\!/$平面$BDE$．
$(1)$求证：$AE=PE$；
$(2)$若$\triangle PAD$是等边三角形，$AB=2AD$，平面$PAD⊥$平面$ABCD$，四棱锥$P-ABCD$的体积为$9 \sqrt {3}$，求点$E$到平面$PCD$的距离．

难度：较易

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3．
如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$AB/\!/CD$，$∠ABC=90^{\circ}$，$\triangle ADP$是等边三角形，$AB=AP=2$，$BP=3$，$A⊥BP$．
$($Ⅰ$)$求$BC$的长度；
$($Ⅱ$)$求直线$BC$与平面$ADP$所成的角的正弦值．

难度：较易

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4．凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=
3
，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．
（1）写出cosA与cosQ的关系式；
（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求s²+T²的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．

难度：中等

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5．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c²=a²+b²-ab．
（1）求角C的值；
（2）若b=2，△ABC的面积S=
3
3
2
，求a的值．

难度：中等

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6．（1）定理：平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影垂直，则这条直线垂直于斜线．
试证明此定理：如图1所示：若PA⊥α，A是垂足，斜线PO∩α=O，a⊂α，a⊥AO，试证明a⊥PO

（2）如图2，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD₁，试证明动点P在线段B₁C上．

难度：较易

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7．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，M为CC₁的中点，∠ABC=90°，AC=A₁A，∠A₁AC=60°，AB=BC=2．
（1）求证：BA₁=BM；
（2）求二面角B-A₁M-C的余弦值．

难度：较易

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8．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ AD，PA⊥底面ABCD，过AB的平面交PD于AB，交PC于N（N与A不重合）．
（Ⅰ）求证：MN∥BC；
（Ⅱ）如果BM⊥AC，求此时 $%20%5Cfrac%20%7BPM%7D%7BPD%7D$ 的值．

难度：较易

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9．
【题文】已知直线的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.
（1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）将直线向右平移h个单位，所得直线与圆C相切，求h.

难度：较易

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10．
【题文】已知曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为（t为参数，）
（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（2）若直线经过点，求直线被曲线C截得的线段AB的长

难度：较难

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