知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若a＞0，b＞0，且
1
a
+
1
b
=
ab
．
（Ⅰ）求a³+b³的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．

难度：较难

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2．已知x²+y²=2，且|x|≠|y|，求
1
(x+y)2
+
1
(x-y)2
的最小值．

难度：中等

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3．选修4-5：不等式选讲．
若a，b，c均为正数，且a+b+c=6，
2a
+
2b+1
+
2c+3
≤|x-2|+|x-m|对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．

难度：较难

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4．（选修4-5：不等式选讲）
已知a，b，c都是正数，且a+2b+3c=6，求
a+1
+
2b+1
+
3c+1
的最大值．

难度：较难

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5．函数y=log_a(x+3)－1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求的最小值为。

难度：较易

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6．（1）已知矩阵M=
2a
21
，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P'（-4，0）
（i）求实数a的值；
（ii）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．
（2）在平面直角坐标系xOy中，动圆x²+y²-8xcosθ-6ysinθ+7cos²θ+8=0（a∈R）的圆心为P（x₀，y₀），求2x₀-y₀的取值范围．
（3）已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a²+
1
4
b2+
1
9
c2+m-1=0．
①求证：a²+
1
4
b2+
1
9
c2≥
(a+b+c)2
14
；
②求实数m的取值范围．

难度：中等

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7．求函数y=2x²+
3
x
（x＞0）的最小值．

难度：中等

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