知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知非空集合A是由一些函数组成，满足如下性质：
①对任意f（x）∈A，f（x）均存在反函数f^-1（x），且f^-1（x）∈A；
②对任意f（x）∈A，方程f（x）=x均有解；
③对任意f（x）、g（x）∈A，若函数g（x）为定义在R上的一次函数，则f（g（x））∈A；
（1）若f（x）=(
1
2
)x，g（x）=2x-3均在集合A中，求证：函数h（x）=log
1
2
（2x-3）∈A；
（2）若函数f（x）=
x2+a
x+1
（x≥1）在集合A中，求实数a的取值范围；
（3）若集合A中的函数均为定义在R上的一次函数，求证：存在一个实数x₀，使得对一切f（x）∈A，均有f（x₀）=x₀．

难度：较难

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2．函数f（x）=lnx，g（x）是f（x）的反函数．
（I）求证：当x≥0时，f（x+1）≥-
1
2
x²+x；
（Ⅱ）若g（x）+g（-x）≤2g（mx²）对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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3．已知函数f(x)=
t•3x-1
3x+1
(t∈R)是奇函数．
（1）求t的值；
（2）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（3）对于任意的0＜m＜2，解不等式：f-1(x)＞log3
1+x
m
．

难度：中等

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4．（A类题）设f（x）=
ex-e-x
2
，其中e为自然底数．
（Ⅰ）若f（m）=2，求实数m的值；
（Ⅱ）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（Ⅲ）判断f（x）的反函数f^-1（x）的奇偶性．

难度：较易

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5．求函数y=
arccos(4x-1)
，
1
4
≤x＜
1
2
的反函数．

难度：较易

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6．求下列函数的反函数：
（1）y=4x-2；
（2）y=
2
x
+3．

难度：较易

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7．己知y=f（x）的反函数是f^-1（x）=2^x-1，x∈R
（1）函数y=f（x）的解析式，并写出定义城．
（2）若g（x）=2log₂（2x+4），求g（x）-f（x）的最小值．

难度：中等

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8．函数f（x）=alog₂（1+x）-log₂（1-x）图象关于原点对称．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式；f^-1（x）＞
1
3
．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=
3x-3-x
2
，求它的反函数f^-1（x）．

难度：较易

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10．已知函数f（x）=（
x-1
x+1
）²（x＞1）．
（1）求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）用单调性的定义证明：f^-1（x）在定义域上为增函数．

难度：中等

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