知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=2^x+a的反函数是y=f^-1（x），设P（x+a，y₁），Q（x，y₂），R（2+a，y₃）是y=f^-1（x）图象上不同的三点；
（1）求y=f^-1（x）；
（2）如果存在正实数x，使得y₁，y₂，y₃成等差数列，试用x表示实数a；
（3）在（2）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=3^x+k （k为常数），A（-2k，2）是函数y=f^-1（x）图象上的点．
（1）求实数k的值及函数f^-1（x）的解析式；
（2）将y=f^-1（x）的图象按向量
a
=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2f^-1（x+m-3）-g（x）≥1恒成立，求正实数m的取值范围．

难度：中等

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3．已知指数函数过点P（1，2010），则它的反函数的解析式为．

难度：中等

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4．已知向量
a
=(1，0)，
b
=(x，1)，当x＞0时，定义函数f(x)=
a
•
b
|
a
|+|
b
|
．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）数列{a_n}满足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和，
①证明：S_n＜2a；
②当a=1时，证明：an＞
1
2n
．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，求y=f（x）+g（x）的值域；
（2）记f^-1（x）为函数，f（x）的反函数，若关于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

难度：中等

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6．已知奇函数f（x），偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）求证：f（2x）=2f（x）•g（x）；
（2）设f（x）的反函数是f^-1（x），当a=
2
-1时，试比较f^-1[g（x）]与-1的大小，并证明你的结论．

难度：中等

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