知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=-x³-mx+
2
2
（m＜0），g（x）=-e^-x-1+1（其中e为自然对数的底数）．
（1）当实数m为何值时，直线y=2x+
2
2
与曲线y=f（x）相切；
（2）记函数h（x）=
f(x)，(f(x)≤g(x))
g(x)，(g(x)＜f(x))
x∈R，当m＞-1-
2
2
时，试讨论函数h（x）的零点个数．

难度：中等

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2．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x，则函数g（x）=f（x）+1的零点的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

难度：中等

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3．设函数f（x）=e^ax（a∈R）．
（I）当a=-2时，求函数g（x）=x²f（x）在区间（0，+∞）内的最大值；
（Ⅱ）若函数h（x）=
x2
f(x)
-1在区间（0，16）内有两个零点，求实数a的取值范围．

难度：较难

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4．函数f（x）=|lgx|-cosx的零点的个数为．

难度：较易

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5．已知函数f（x）=lg
2x
ax+b
，f（1）=0，且f（2）-f（
1
2
）=lg2．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若x∈（0，+∞）时方程f（x）=lgt有解，求实数t的取值范围；
（3）若函数y=f（x）-lg（8x+m）的无零点，求实数m的取值范围．

难度：中等

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6．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．
（1）当x∈（
1
2
，2）时，求μ（x+log₂x）的取值的集合；
（2）如函数f（x）=
μ(x)
x
-a(x＞0)有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；
（3）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N⁺）上的值域为M_a，集合M_a中的元素个数为a_n，求证：

lin
n→+∞
an
n2+1
=
1
2
．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=mlnx+x²．（m为常数）
（Ⅰ）当x∈[1，e]时，求函数y=f（x）的零点个数；
（Ⅱ）是否存在正实数m，使得对任意x₁、x₂∈[1，e]，都有|f(x1)-f(x2)|≤|
1
x1
-
1
x2
|，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=x²-（a+1）x+b
（1）若b=-1，函数y=f（x）在x∈[2，3]上有一个零点，求a的取值范围
（2）若a=b，且∀a∈[2，3]都有f（x）＜0成立，求x的取值范围．

难度：中等

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9．已知函数f(x)=

lnx

-x2+2ex-k有且只有一个零点，则k的值为（　　）

A．e+

B．e+

C．e2+

D．e2+

难度：中等

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10．已知函数f(x)=
2-(
1
2
)x，x≤0
1
2
x2-x+1，x＞0
．
（1）写出该函数的单调递减区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-m恰有1个零点，求实数m的取值范围；
（3）若不等式f（x）≤n²-2bn+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数n的取值范围．

难度：中等

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