知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f(x)=|log
1
3
x|的定义域为[a，b]，值域为[0，t]
（1）用含有t的表达式表示b-a的最大值M（t），最小值N（t）；
（2）若设g（t）=M（t）-N（t），当1≤t≤2时，求h（t）=g（t）[g（t）+k]的最小值h（k）．

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2．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么可卖出1000件，如果每提高单价1元，那么销售量Q（件）会减少20，设每件商品售价为x（元）；
（1）请将销售量Q（件）表示成关于每件商品售价x（元）的函数；
（2）请问当售价x（元）为多少，才能使这批商品的总利润y（元）最大？

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3．已知函数f（x）=
1
3
x3-ax+4，(a＞0)
（1）讨论函数 f （x）的单调性；
（2）若对任意的a∈[1，4），都存在x₀∈（2，3]使得不等式f（x₀）+e^a+2a＞m成立，求实数m 的取值范围．

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4．对任意的两个实数a，b，定义min(a，b)=
a，a＜b
b，a≥b
，若f（x）=4-x²，g（x）=3x，则min（f（x），g（x））的最大值为．

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5．已知函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若
1
3
≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式；
（3）在（2）的条件下，求g（a）的最大值．

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6．已知函数f（x）=x²-2ax+1在区间[-3，2]上有最小值，记作g（a）
（Ⅰ）求g（a）的函数表达式；
（Ⅱ）求g（a）的最大值．

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7．已知f(x)=
|x2-px-p|
mx2-m2
，
x≥0
x＜0
，
（Ⅰ）若f（x）在区间[0，1]上是增函数，求实数p的取值范围；
（Ⅱ）当a＜b＜0时，是否存在实数m，使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域恰为[a，b]？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

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8．当0＜x＜
π
4
时，函数f（x）=
sinxcosx-1
cos2x
的最大值是．

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9．函数f（x）定义在区间[a，b]上，设“min{f（x）|x∈D}”表示函数f（x）在集合D上的最小值，“max{f（x）|x∈D}”表示函数f（x）在集合D上的最大值．现设f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为区间[a，b]上的“第k类压缩函数”．
（1）若函数f（x）=x³-3x²，x∈[0，3]，求f（x）的最大值，写出f₁（x）、f₂（x）的解析式；
（2）若m＞0，函数f（x）=x³-mx²是[0，m]上的“第3类压缩函数”，求m的取值范围．

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10．设函数f（x）=|x²-1|，若0＜a＜b，f（a）=f（b），则ab²的取值范围．

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