数字 \(1,2,3,\cdots ,n\ \ (n\geqslant 2)\)
的任意一个排列记作 \(({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}})\)
，设 \({{S}_{n}}\)
为所有这样的排列构成的集合． 集合\({{A}_{n}}=\{({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}})\in {{S}_{n}}| \)
任意整数\(i,j,1\leqslant i < j\leqslant n\)
，都有\({{a}_{i}}-i\leqslant {{a}_{j}}-j\}\)
；集合\({{B}_{n}}=\{({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}})\in {{S}_{n}}| \)
任意整数\(i,j,1\leqslant i < j\leqslant n\)
，都有\({{a}_{i}}+i\leqslant {{a}_{j}}+j\}\)
． \((\)Ⅰ\()\)用列举法表示集合\({{A}_{3}}\)
，\({{B}_{3}}\)
； \((\)Ⅱ\()\)求集合\({{A}_{n}}\bigcap {{B}_{n}}\)
的元素个数； \((\)Ⅲ\()\)记集合\({{B}_{n}}\)的元素个数为\({{b}_{n}}\)\(.\)证明：数列\(\{{{b}_{n}}\}\)是等比数列．