知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=（ax²+x+2）e^x（a＞0），其中e是自然对数的底数．
（1）当a=2时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在[-2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．

难度：较难

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2．设f（x）=
2x+3，x＜0
3-x，x≥0
讨论f（x）在x=0处的连续性和可导性．

难度：较易

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3．直线y=2x+b能否与函数f（x）=sinx相切？说明你的理由．

难度：较易

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4．一辆汽车在司机猛踩刹车后5s内停下．在这一刹车过程中，下面各速度值被记录了下来：
刹车踩下后的时间/s 0 1 2 3 4 5
速度/（m•s^-1） 27 18 12 7 3 0
求刹车踩下后汽车滑过的距离的不足近似值（每个ξ_i均取为小区间的右端点）与过剩近似值（每个ξ_i均取为小区间的左端点）．

难度：较易

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5．求曲线y=
1
x
+2x在x=1处切线的斜率，并求该切线的切线方程．

难度：较易

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6．已知曲线y=x³上过点（2，8）的切线方程为12x-ay+b=0，求实数a，b的值．

难度：中等

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7．一杯80℃得热红茶置于20℃的房间里，它得温度会逐渐下降，温度T（单位℃）与时间t（单位 min）之间的关系由函数T=f（t）给出，请问
（1）f′（t）的符号是什么？为什么？
（2）f′（3）=-4得实际意义是什么？如果f（3）=65（℃），你能画出函数在点t=3时图象得大致形状吗？

难度：较易

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8．若曲线f（x）存在垂直于y轴的切线，且f′（x）=2x²+3-2a，求实数a的取值范围．

难度：中等

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9．设点P为曲线y=x³+
3
x+2上任意一点，求该曲线在点P处的切线的倾斜角θ的取值范围．

难度：中等

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10．一个质量为3kg的物体沿南北方向的道路（向北的方向为正方向）做直线运动，物体的位置s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）=t-6t表示，并且物体的动能E_k=
1
2
mv²（单位：焦耳）
（1）求瞬时速度v（单位：m/s）在t（单位：s）时刻的表达式；
（2）求物体开始运动后第5s时的动能．

难度：中等

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刹车踩下后的时间/s	0	1	2	3	4	5
速度/（m•s^-1）	27	18	12	7	3	0