知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
1
3
x³-
1
2
x²+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）求函数图象经过点（
3
2
，1）的切线的方程；
（3）求函数f（x）=
1
3
x³-
1
2
x²+1的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积．

难度：中等

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2．已知a=
∫
4
1
2
x
dx，求(1-x)(
a
2
+x)5的展开式中含x²项的系数．

难度：中等

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3．计算
（1）已知f（x）=（x²+2x）e^x，求f′（-1）；
（2）∫

π
0
cos²
x
2
dx．

难度：中等

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4．试用二重积分性质求下列极限
lim
n→∞
1
n3
∬
D
[
x2+y2
]dσ．
这里D是圆域x²+y²≤n²，n是正整数，[
x2+y2
]是不是大于
x2+y2
的最大正整数．
（已知1²+2²+…+n²=
n(n+1)(2n+1)
6
）

难度：中等

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5．设函数f（x）=e^4x+x³+x．
（1）求f′（0）；
（2）计算定积分
∫
1
0
（f（x）-e^4x）dx．

难度：较易

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6．如图所示，曲线y=x²与y轴、直线y=1围成区域A（图中阴影部分），用模拟的方法求图中阴影部分的面积．（用两种方法）

难度：中等

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7．利用定积分的几何意义表示下列曲线围成的平面区域的面积
（1）y=2x与y=3-x²；
（2）y=|sinx|，y=0，x=2，x=5；
（3）y=log
1
2
x（log以
1
2
为底，x的对数），y=0，x=
1
2
，x=3．

难度：较易

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8．已知f（x）为偶函数，且∫₀²f（x）dx=3，计算定积分∫_-2²3f（x）dx．

难度：较易

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9．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求由曲线y=f（x）、直线x=-1、直线x=0以及直线y=0围成的曲边梯形面
（Ⅲ）求由曲线段y=f（x）（0≤x≤1）绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

难度：中等

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10． A、B两站相距7.2km，一辆列车从A站开往B站，列车开出t₁s后到达途中C点，这一段速度为1.2t m/s，到C点速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经t₂ s后，速度为（24-1.2t）m/s．在B点恰好停车，试求：
（1）C，D间的距离；
（2）电车从A站到B站所需的时间．

难度：中等

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